Em um lote foram misturadas 2 lâmpadas defeituosas com 6 lâmpadas em perfeito estado, totalizando 8 lâmpadas. Elas serão testadas uma a uma, sem reposição, até que as duas defeituosas sejam encontradas.
Qual é a probabilidade de que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada exatamente no terceiro teste?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade clara.
- Temos
lâmpadas no total. - Dessas,
são defeituosas e estão em perfeito estado. - As lâmpadas são testadas uma a uma, sem reposição.
- Paramos assim que as duas defeituosas forem encontradas.
O que se pede:
- A probabilidade de que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada exatamente no terceiro teste.
Observação importante (para não confundir): isso significa que, dos três primeiros testes, exatamente duas lâmpadas são defeituosas e a terceira dessas três (ou seja, o teste número
) é uma lâmpada defeituosa. Em outras palavras, nas posições
devemos ter exatamente duas
(defeituosas) e a posição
deve ser uma
.
Passo 2
Vamos escolher um método claro e prático: usar a regra da probabilidade composta (regra do produto) para eventos sequenciais sem reposição. A regra diz:
Aqui cada evento é o resultado de um teste (por exemplo, “1ª é defeituosa”, “2ª é boa”, “3ª é defeituosa”). Essa regra funciona bem porque a retirada é sem reposição, então as probabilidades condicionais mudam conforme os resultados anteriores.
Vou calcular as probabilidades de todas as sequências possíveis de testes
que levam ao segundo defeito exatamente no teste
, e somar essas probabilidades.
Passo 3
Identificamos as sequências possíveis em que o segundo defeito aparece exatamente no teste
. São duas sequências entre os três primeiros testes:
- Sequência A:
(defeituosa no 1º, boa no 2º, defeituosa no 3º). - Sequência B:
(boa no 1º, defeituosa no 2º, defeituosa no 3º).
Vou calcular
usando a regra do produto.
Primeiro termo: probabilidade da 1ª ser defeituosa:
Segundo termo: dada a 1ª defeituosa, restam
lâmpadas com
boas e
defeituosa, então
Terceiro termo: após
e
retirados, restam
lâmpadas com
defeituosa, então
Multiplicando:
Expliquei cada fração: numerador = número de lâmpadas favoráveis naquele passo; denominador = total restante naquele passo.
Passo 4
Agora calculo
.
Primeiro termo: probabilidade da 1ª ser boa:
Segundo termo: dada a 1ª boa, restam
lâmpadas com
defeituosas, então
Terceiro termo: após
e
retirados, restam
lâmpadas com
defeituosa, então
Multiplicando:
Note que aqui também fiz a interpretação “numerador = casos favoráveis no passo; denominador = total restante”.
Passo 5
A probabilidade pedida é a soma das probabilidades das duas sequências mutuamente exclusivas:
Vou fazer uma checagem alternativa (mais combinatória) só para confirmar a intuição: a probabilidade de haver exatamente
defeituosas entre as primeiras
retiradas é dada pela hipergeométrica
Dado que entre as três primeiras há exatamente duas defeituosas, a probabilidade de que a posição
seja uma defeituosa é
(entre as 3 posições, 2 são defeituosas, então chance de a 3ª ser defeituosa = número de maneiras com pos3 defeituosa dividido por total de arranjos =
). Multiplicando:
confirma o resultado anterior.