Em um lote foram misturadas 2 lâmpadas defeituosas com 6 lâmpadas em perfeito estado, totalizando 8 lâmpadas. Elas serão testadas uma a uma, sem reposição, até que as duas defeituosas sejam encontradas.
Qual é a probabilidade de que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada exatamente no terceiro teste?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade clara.
  • Temos 8 lâmpadas no total.
  • Dessas, 2 são defeituosas e 6 estão em perfeito estado.
  • As lâmpadas são testadas uma a uma, sem reposição.
  • Paramos assim que as duas defeituosas forem encontradas.
O que se pede:
  • A probabilidade de que a segunda lâmpada defeituosa seja encontrada exatamente no terceiro teste.
Observação importante (para não confundir): isso significa que, dos três primeiros testes, exatamente duas lâmpadas são defeituosas e a terceira dessas três (ou seja, o teste número 3) é uma lâmpada defeituosa. Em outras palavras, nas posições 1,2,3 devemos ter exatamente duas D (defeituosas) e a posição 3 deve ser uma D.

Passo 2

Vamos escolher um método claro e prático: usar a regra da probabilidade composta (regra do produto) para eventos sequenciais sem reposição. A regra diz:
P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A,B).
Aqui cada evento é o resultado de um teste (por exemplo, “1ª é defeituosa”, “2ª é boa”, “3ª é defeituosa”). Essa regra funciona bem porque a retirada é sem reposição, então as probabilidades condicionais mudam conforme os resultados anteriores.
Vou calcular as probabilidades de todas as sequências possíveis de testes 1,2,3 que levam ao segundo defeito exatamente no teste 3, e somar essas probabilidades.

Passo 3

Identificamos as sequências possíveis em que o segundo defeito aparece exatamente no teste 3. São duas sequências entre os três primeiros testes:
  • Sequência A: D, G, D (defeituosa no 1º, boa no 2º, defeituosa no 3º).
  • Sequência B: G, D, D (boa no 1º, defeituosa no 2º, defeituosa no 3º).
Vou calcular P(\text{Sequência A})ê usando a regra do produto.
Primeiro termo: probabilidade da 1ª ser defeituosa:
P(\text{1ª = }D)=\frac{2}{8}.ª
Segundo termo: dada a 1ª defeituosa, restam 7 lâmpadas com 6 boas e 1 defeituosa, então
P(\text{2ª = }G \mid \text{1ª = }D)=\frac{6}{7}.ªª
Terceiro termo: após D e G retirados, restam 6 lâmpadas com 1 defeituosa, então
P(\text{3ª = }D \mid \text{1ª = }D,\\ \text{2ª = }G)=\frac{1}{6}.ªªª
Multiplicando:
P(D,G,D)=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{28}.
Expliquei cada fração: numerador = número de lâmpadas favoráveis naquele passo; denominador = total restante naquele passo.

Passo 4

Agora calculo P(\text{Sequência B})=P(G,D,D)ê.
Primeiro termo: probabilidade da 1ª ser boa:
P(\text{1ª = }G)=\frac{6}{8}.ª
Segundo termo: dada a 1ª boa, restam 7 lâmpadas com 2 defeituosas, então
P(\text{2ª = }D \mid \text{1ª = }G)=\frac{2}{7}.ªª
Terceiro termo: após G e D retirados, restam 6 lâmpadas com 1 defeituosa, então
P(\text{3ª = }D \mid \text{1ª = }G,\\ \text{2ª = }D)=\frac{1}{6}.ªªª
Multiplicando:
P(G,D,D)=\frac{6}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{28}.
Note que aqui também fiz a interpretação “numerador = casos favoráveis no passo; denominador = total restante”.

Passo 5

A probabilidade pedida é a soma das probabilidades das duas sequências mutuamente exclusivas:
P(\text{segunda defeituosa no teste 3})=P(D,G,D)+P(G,D,D)=\frac{1}{28}+\frac{1}{28}=\frac{1}{14}.
Vou fazer uma checagem alternativa (mais combinatória) só para confirmar a intuição: a probabilidade de haver exatamente 2 defeituosas entre as primeiras 3 retiradas é dada pela hipergeométrica
P(\text{exatamente 2 em 3})=\frac{\binom{2}{2}\binom{6}{1}}{\binom{8}{3}}=\frac{1\cdot 6}{56}=\frac{3}{28}.
Dado que entre as três primeiras há exatamente duas defeituosas, a probabilidade de que a posição 3 seja uma defeituosa é \dfrac{2}{3} (entre as 3 posições, 2 são defeituosas, então chance de a 3ª ser defeituosa = número de maneiras com pos3 defeituosa dividido por total de arranjos = 2/3). Multiplicando:
\frac{3}{28}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{14},
confirma o resultado anterior.

Resposta

\frac{1}{14}

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