4 - Uma caixa contém 10 iogurtes dos quais 3 estão estragados. Retiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição 3 iogurtes. Qual a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar ponto a ponto para não se perder):
  • Na caixa há 10 iogurtes no total.
  • Desses 10, 3 estão estragados e, portanto, 7 estão bons.
  • Retiram-se 3 iogurtes ao acaso, sucessivamente e sem reposição (ou seja, amostra sem reposição).
  • A pergunta: qual a probabilidade de obter, entre os 3 retirados, quando muito um iogurte estragado?
    Isso significa que queremos a probabilidade de haver 0 estragados ou 1 estragado nos 3 retirados (ou seja, P(\text{0 estragados}) + P(\text{1 estragado})).

Passo 2

Qual método usar? Aqui as retiradas são sem reposição e todos os subconjuntos de 3 iogurtes são igualmente prováveis. O jeito mais direto e simples é contar combinações: contar o número de maneiras favoráveis e dividir pelo número total de maneiras de escolher 3 iogurtes dentre 10. Esse raciocínio leva à chamada distribuição hipergeométrica, cujo cálculo pode ser feito com contagem por combinações.
Explicando a fórmula de combinações e a ideia:
\text{Número de formas de escolher }k\text{ itens de um conjunto de }n \text{ itens} = \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.ú
Aqui:
  • o espaço amostral tem tamanho \binom{10}{3} (todas as escolhas de 3 iogurtes entre 10),
  • para obter exatamente k iogurtes estragados escolhemos k dos 3 estragados e os outros 3-k dos 7 bons; o número de escolhas favoráveis é \binom{3}{k}\binom{7}{3-k}.
    Portanto, para k\in\{0,1,2,3\}:
P(\text{exatamente }k\text{ estragados})=\frac{\binom{3}{k}\binom{7}{3-k}}{\binom{10}{3}}.

Passo 3

Calcular o denominador \binom{10}{3}. Usando a fórmula:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.

Passo 4

Calcular P(\text{0 estragados}):
\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
Logo
P(0)=\frac{\binom{3}{0}\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{1\cdot35}{120}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}\approx0,291666\ldots

Passo 5

Calcular P(\text{1 estragado}):
\binom{3}{1}=3,\qquad \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
Logo
P(1)=\frac{\binom{3}{1}\binom{7}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{3\cdot21}{120}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}=0,525.

Passo 6

Somar as probabilidades de 0 e 1 estragado (porque a pergunta pede “quando muito um”):
P(\text{até 1})=P(0)+P(1)=\frac{35}{120}+\frac{63}{120}=\frac{98}{120}.é
Simplificando a fração:
\frac{98}{120}=\frac{49}{60}\approx0,816\overline{6}.

Passo 7

Checagem rápida (controle de consistência): calcular complemento (probabilidade de haver pelo menos 2 estragados).
P(2)=\frac{\binom{3}{2}\binom{7}{1}}{120}=\frac{3\cdot7}{120}=\frac{21}{120}, \quad P(3)=\frac{\binom{3}{3}\binom{7}{0}}{120}=\frac{1\cdot1}{120}=\frac{1}{120}.
Então P(\text{>=2})= \frac{22}{120}=\frac{11}{60} e 1-\frac{11}{60}=\frac{49}{60}, que bate com o resultado anterior. Tudo consistente!

Resposta

\dfrac{49}{60}
\approx 0,816\overline{6}

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