4 - Uma caixa contém 10 iogurtes dos quais 3 estão estragados. Retiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição 3 iogurtes. Qual a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar ponto a ponto para não se perder):
- Na caixa há
iogurtes no total. - Desses
, estão estragados e, portanto, estão bons. - Retiram-se
iogurtes ao acaso, sucessivamente e sem reposição (ou seja, amostra sem reposição). - A pergunta: qual a probabilidade de obter, entre os
retirados, quando muito um iogurte estragado?
Isso significa que queremos a probabilidade de haverestragados ou estragado nos retirados (ou seja, ).
Passo 2
Qual método usar? Aqui as retiradas são sem reposição e todos os subconjuntos de
iogurtes são igualmente prováveis. O jeito mais direto e simples é contar combinações: contar o número de maneiras favoráveis e dividir pelo número total de maneiras de escolher
iogurtes dentre
. Esse raciocínio leva à chamada distribuição hipergeométrica, cujo cálculo pode ser feito com contagem por combinações.
Explicando a fórmula de combinações e a ideia:
Aqui:
- o espaço amostral tem tamanho
(todas as escolhas de 3 iogurtes entre 10), - para obter exatamente
iogurtes estragados escolhemos dos estragados e os outros dos bons; o número de escolhas favoráveis é .
Portanto, para:
Passo 3
Calcular o denominador
. Usando a fórmula:
Passo 4
Calcular
:
Logo
Passo 5
Calcular
:
Logo
Passo 6
Somar as probabilidades de
e
estragado (porque a pergunta pede “quando muito um”):
Simplificando a fração:
Passo 7
Checagem rápida (controle de consistência): calcular complemento (probabilidade de haver pelo menos
estragados).
Então
e
, que bate com o resultado anterior. Tudo consistente!