1. Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-se que 100 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média de \bar{x}=501,2 horas. Suponha-se que \sigma seja conhecido e igual a 4 horas, deseja-se obter um intervalo de confiança de 95 \% para a média \mu

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente para você não se perder):
  • Foi ensaiado um total de n=100 peças.
  • A média amostral observada é \bar{x}=501{,}2 horas.
  • A desviopadrão populacional é conhecido: \sigma=4 horas.
  • Deseja-se um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.
O que o problema pede: calcular o intervalo de confiança de 95\% para \mu usando os dados acima.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como se eu estivesse do seu lado):
Quando a variância/desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a amostra é grande (ou \bar{X} é aproximadamente normal), o intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=\bar{x}=501{,}2).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e 1-\alpha/2=0{,}975.
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=4).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100).
  • O termo \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média: mede a variabilidade da média amostral em torno da verdadeira média.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{100}=10.
Portanto
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{10}=0{,}4.
Isso significa que a média amostral costuma variar cerca de 0{,}4 horas devido ao acaso da amostragem.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{1-\alpha/2}. Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O quantil correspondente da Normal padrão é
z_{0{,}975}=1{,}96.
(Isto é um valor padrão que você consulta na tabela da Normal ou obtém pela função inversa da Normal em uma calculadora.)

Passo 5

Calcular a margem de erro (o quanto somamos/subtraímos à média):
E = z_{0{,}975}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\times 0{,}4=0{,}784.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo somando e subtraindo a margem de erro da média:
  • Limite inferior:
\bar{x}-E = 501{,}2 - 0{,}784 = 500{,}416.
  • Limite superior:
\bar{x}+E = 501{,}2 + 0{,}784 = 501{,}984.

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento:
  • O intervalo de confiança de 95\% para \mu é [500{,}416,\;501{,}984]. Isso significa que, com o procedimento usado (amostrar e construir o intervalo) repetido muitas vezes, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média \mu.
  • Se quiser reportar com menos casas decimais, pode arredondar (por exemplo para uma casa: [500{,}4,\;502{,}0]), mas mantenha atenção ao nível de precisão exigido na prova.

Resposta

\mu \in [500{,}416,\;501{,}984]

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