- Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-se que 100 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média de
horas. Suponha-se que
seja conhecido e igual a 4 horas, deseja-se obter um intervalo de confiança de
para a média
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente para você não se perder):
- Foi ensaiado um total de
peças. - A média amostral observada é
horas. - A desviopadrão populacional é conhecido:
horas. - Deseja-se um intervalo de confiança de
para a média populacional .
O que o problema pede: calcular o intervalo de confiança de
para
usando os dados acima.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como se eu estivesse do seu lado):
Quando a variância/desvio padrão populacional é conhecido e a amostra é grande (ou
é aproximadamente normal), o intervalo de confiança para a média tem a forma
Quando a variância/desvio padrão populacional
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área à esquerda é . Para de confiança, e . -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - O termo
chama-se erro padrão da média: mede a variabilidade da média amostral em torno da verdadeira média.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média passo a passo:
Portanto
Isso significa que a média amostral costuma variar cerca de
horas devido ao acaso da amostragem.
Passo 4
Determinar o valor crítico
. Para nível de confiança
temos
e
. O quantil correspondente da Normal padrão é
(Isto é um valor padrão que você consulta na tabela da Normal ou obtém pela função inversa da Normal em uma calculadora.)
Passo 5
Calcular a margem de erro (o quanto somamos/subtraímos à média):
Passo 6
Calcular os limites do intervalo somando e subtraindo a margem de erro da média:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Passo 7
Interpretação curta e encorajamento:
- O intervalo de confiança de
para é . Isso significa que, com o procedimento usado (amostrar e construir o intervalo) repetido muitas vezes, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média . - Se quiser reportar com menos casas decimais, pode arredondar (por exemplo para uma casa:
), mas mantenha atenção ao nível de precisão exigido na prova.