Em uma amostra de 20 alunos de uma universidade, verificou-se que o tempo médio de estudo diário foi de 4 horas, com um desvio padrão amostral de 1,5 horas. Assumindo que o tempo de estudo diário segue uma distribuição aproximadamente normal, determine um intervalo de confiança de 90 \% para a verdadeira média do tempo de estudo diário de todos os alunos da universidade. ( t=1,729 )

Passo 1

Dados fornecidos:
\\ n=20 (tamanho da amostra), \\ \bar{x}=4 (média amostral, em horas), \\ s=1,5 (desvio padrão amostral, em horas), e foi dado o valor crítico \\ t_{0{,}05,\,19}=1,729 (ou seja, \\ t para nível de confiança de 90\% com 19 graus de liberdade).
O que o enunciado pede: determinar um intervalo de confiança de 90\% para a verdadeira média do tempo de estudo diário da população.

Passo 2

Conceito e ideia geral (explicação didática): um intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é aproximadamente normal, usa a distribuição t. A fórmula geral é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
\\ \bar{x} é a média amostral (estimador pontual da média populacional);
\\ t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade que deixa \alpha/2 em cada cauda (para 90\% de confiança, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05);
\\ s é o desvio padrão amostral;
\\ n é o tamanho da amostra;
\\ \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra).
Agora vamos aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando cada conta para que você consiga repetir na prova.

Passo 3

Escrevendo a fórmula e substituindo os valores conhecidos:
\text{IC}_{90\%}=\bar{x}\pm t_{0{,}05,\,19}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
Substituindo \bar{x}=4, \\ t_{0{,}05,\,19}=1,729, \\ s=1,5 e \\ n=20, temos
\text{IC}_{90\%}=4\pm 1{,}729\cdot\frac{1{,}5}{\sqrt{20}}.

Passo 4

Calcular o erro padrão \frac{s}{\sqrt{n}} passo a passo:
\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}472135955
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}5}{\sqrt{20}}\approx\frac{1{,}5}{4{,}472135955}\approx 0{,}335410196.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar \frac{s}{\sqrt{n}}\approx 0{,}33541.

Passo 5

Calcular a margem de erro multiplicando pelo valor t:
\text{margem}=1{,}729\times 0{,}335410196\approx 0{,}579557.
Arredondando de forma prática para apresentação, usamos \text{margem}\approx 0{,}57956.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=4-0{,}57956\approx 3{,}42044,
\text{limite superior}=4+0{,}57956\approx 4{,}57956.
Arredondando para duas casas decimais (forma comum em relatórios e provas): \\\ 3{,}42 e \\\ 4{,}58.

Passo 7

Interpretação curta e dica de prova: com 90\% de confiança, o intervalo calculado significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tamanho muitas vezes e construíssemos o intervalo da mesma forma, aproximadamente 90\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Na prova, faça as contas na ordem mostrada: calcule primeiro \sqrt{n}, depois o erro padrão \frac{s}{\sqrt{n}}, multiplique pelo t dado para obter a margem, e finalmente some/subtraia da média amostral.

Resposta

\\ [3,42,\;4,58]

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