Em uma amostra de 20 alunos de uma universidade, verificou-se que o tempo médio de estudo diário foi de 4 horas, com um desvio padrão amostral de 1,5 horas. Assumindo que o tempo de estudo diário segue uma distribuição aproximadamente normal, determine um intervalo de confiança de
para a verdadeira média do tempo de estudo diário de todos os alunos da universidade. (
)
Passo 1
Dados fornecidos:
(tamanho da amostra),
(média amostral, em horas),
(desvio padrão amostral, em horas), e foi dado o valor crítico
(ou seja,
para nível de confiança de
com
graus de liberdade).
O que o enunciado pede: determinar um intervalo de confiança de para a verdadeira média do tempo de estudo diário da população.
O que o enunciado pede: determinar um intervalo de confiança de
Passo 2
Conceito e ideia geral (explicação didática): um intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é aproximadamente normal, usa a distribuição
. A fórmula geral é
onde:
é a média amostral (estimador pontual da média populacional);
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade que deixa
em cada cauda (para
de confiança,
e
);
é o desvio padrão amostral;
é o tamanho da amostra;
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra).
Agora vamos aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando cada conta para que você consiga repetir na prova.
Agora vamos aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando cada conta para que você consiga repetir na prova.
Passo 3
Escrevendo a fórmula e substituindo os valores conhecidos:
Substituindo
,
,
e
, temos
Passo 4
Calcular o erro padrão
passo a passo:
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
.
Passo 5
Calcular a margem de erro multiplicando pelo valor
:
Arredondando de forma prática para apresentação, usamos
.
Passo 6
Calcular os extremos do intervalo:
Arredondando para duas casas decimais (forma comum em relatórios e provas):
e
.
Passo 7
Interpretação curta e dica de prova: com
de confiança, o intervalo calculado significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tamanho muitas vezes e construíssemos o intervalo da mesma forma, aproximadamente
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Na prova, faça as contas na ordem mostrada: calcule primeiro
, depois o erro padrão
, multiplique pelo
dado para obter a margem, e finalmente some/subtraia da média amostral.