Em um estudo sobre a consistência de enchimento de garrafas em uma linha de produção, foram coletadas as seguintes medições de volume (ml) para uma amostra de n=10 garrafas:
350,2 \quad 349,8 \quad 350,5 \quad 350,1 \quad 349,9 \quad 350,3 \quad 350,0 \quad 349,7 \quad 350,4 \quad 350,1
Assuma que o volume segue uma distribuição normal.
a) Calcule a variância amostral ( S^{2} ).
b) Construa um Intervalo de Confiança de 95 \% para a variância populacional ( \sigma^{2} ).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=10 volumes (em ml):
350,2,\;349,8,\;350,5,\;350,1,\;349,9,\;350,3,\;350,0,\;349,7,\;350,4,\;350,1.
Perguntas:
  1. Calcular a variância amostral \;S^{2}.
  2. Construir um intervalo de confiança de 95\% para a variância populacional \;\sigma^{2}.
Informações relevantes fornecidas: o tamanho da amostra n=10 e a suposição de normalidade da população (isso permite usar a distribuição qui-quadrado para o IC da variância). Não há outras informações externas necessárias.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. Fórmula da média:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somando os valores (peguei os valores do enunciado acima) temos
\sum_{i=1}^{10} x_i = 350,2+349,8+350,5+350,1+349,9+350,3+350,0+349,7+350,4+350,1 = 3501,0.
Logo
\bar{x}=\frac{3501,0}{10}=350,1.

Passo 3

Agora vamos usar a definição da variância amostral (estimador sem viés):
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Primeiro calcule as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (peguei \bar{x}=350,1 do passo anterior):
\begin{array}{ll} x_1=350,2:\; x_1-\bar{x}=0,1 \Rightarrow (x_1-\bar{x})^{2}=0,01,\\[4pt] x_2=349,8:\; x_2-\bar{x}=-0,3 \Rightarrow (x_2-\bar{x})^{2}=0,09,\\[4pt] x_3=350,5:\; x_3-\bar{x}=0,4 \Rightarrow (x_3-\bar{x})^{2}=0,16,\\[4pt] x_4=350,1:\; x_4-\bar{x}=0,0 \Rightarrow (x_4-\bar{x})^{2}=0,00,\\[4pt] x_5=349,9:\; x_5-\bar{x}=-0,2 \Rightarrow (x_5-\bar{x})^{2}=0,04,\\[4pt] x_6=350,3:\; x_6-\bar{x}=0,2 \Rightarrow (x_6-\bar{x})^{2}=0,04,\\[4pt] x_7=350,0:\; x_7-\bar{x}=-0,1 \Rightarrow (x_7-\bar{x})^{2}=0,01,\\[4pt] x_8=349,7:\; x_8-\bar{x}=-0,4 \Rightarrow (x_8-\bar{x})^{2}=0,16,\\[4pt] x_9=350,4:\; x_9-\bar{x}=0,3 \Rightarrow (x_9-\bar{x})^{2}=0,09,\\[4pt] x_{10}=350,1:\; x_{10}-\bar{x}=0,0 \Rightarrow (x_{10}-\bar{x})^{2}=0,00. \end{array}
Somendo os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=0,01+0,09+0,16+0,00+0,04+0,04+0,01+0,16+0,09+0,00=0,60.]

Passo 4

Agora aplico a fórmula:
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{0,60}{10-1}=\frac{0,60}{9}=0,066\overline{6}.
É útil notar que \displaystyle S^{2}=\frac{1}{15}\approx 0,0667 (em \text{ml}^2).

Passo 5

Explicando a teoria por trás do intervalo de confiança para a variância (aula curta e prática):
  • Se X_1,\dots,X_n é uma amostra de uma população normal, então a estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade, ou seja
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{\,n-1}.
  • Assim, para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 0,95), usamos os quantis da distribuição \chi^{2} para obter
P\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}\le\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\le\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}\right)=1-\alpha.
  • Isolando \sigma^{2} obtemos o intervalo de confiança:
\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}\;,\;\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}\right).
Aqui n-1 é o número de graus de liberdade. Vou aplicar com \alpha=0,05 e n-1=9.

Passo 6

Precisamos dos quantis da qui-quadrado com 9 graus de liberdade para probabilidades 0,975 e 0,025. Usando uma tabela padrão de \chi^{2} (peguei os valores na tabela),
\chi^{2}_{0,975,9}\approx 19,0228,\qquad \chi^{2}_{0,025,9}\approx 2,7004.

Passo 7

Calcule os extremos do intervalo usando (n-1)S^{2}=9\cdot S^{2}=0,60:
Limite inferior:
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}=\frac{0,60}{\chi^{2}_{0,975,9}}=\frac{0,60}{19,0228}\approx 0,0315.
Limite superior:
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}=\frac{0,60}{\chi^{2}_{0,025,9}}=\frac{0,60}{2,7004}\approx 0,2222.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \sigma^{2} é aproximadamente
\bigl(0,0315\;,\;0,2222\bigr)\\ \text{(ml}^{2}\text{)}.

Resposta

a) S^{2}=0,066\overline{6}\approx 0,0667 (ml ^2).
b) Intervalo de confiança de 95\% para \sigma^{2}: \bigl(0,0315\;,\;0,2222\bigr) (ml ^2).

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