Em um estudo sobre a consistência de enchimento de garrafas em uma linha de produção, foram coletadas as seguintes medições de volume (ml) para uma amostra de
garrafas:
Assuma que o volume segue uma distribuição normal.
a) Calcule a variância amostral (
).
b) Construa um Intervalo de Confiança de
para a variância populacional (
).
a) Calcule a variância amostral (
b) Construa um Intervalo de Confiança de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
volumes (em ml):
Perguntas:
- Calcular a variância amostral
. - Construir um intervalo de confiança de
para a variância populacional .
Informações relevantes fornecidas: o tamanho da amostra
e a suposição de normalidade da população (isso permite usar a distribuição qui-quadrado para o IC da variância). Não há outras informações externas necessárias.
Passo 2
Vamos calcular a média amostral
. Fórmula da média:
Somando os valores (peguei os valores do enunciado acima) temos
Logo
Passo 3
Agora vamos usar a definição da variância amostral (estimador sem viés):
Primeiro calcule as diferenças
e seus quadrados (peguei
do passo anterior):
Somendo os quadrados:
Passo 4
Agora aplico a fórmula:
É útil notar que
(em
).
Passo 5
Explicando a teoria por trás do intervalo de confiança para a variância (aula curta e prática):
- Se
é uma amostra de uma população normal, então a estatística
segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade, ou seja
- Assim, para um nível de confiança
(aqui ), usamos os quantis da distribuição para obter
- Isolando
obtemos o intervalo de confiança:
Aqui
é o número de graus de liberdade. Vou aplicar com
e
.
Passo 6
Precisamos dos quantis da qui-quadrado com
graus de liberdade para probabilidades
e
. Usando uma tabela padrão de
(peguei os valores na tabela),
Passo 7
Calcule os extremos do intervalo usando
:
Limite inferior:
Limite superior:
Portanto o intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
Resposta
a)
(ml
).
b) Intervalo de confiança de para
:
(ml
).
b) Intervalo de confiança de