e
. Qual a probabilidade de que a soma dos pesos de 5 frutos seja superior ao peso de um cacho?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a soma dos pesos de 5 frutos seja superior ao peso de um cacho.
Informações fornecidas pelo enunciado (todas tiradas do próprio enunciado):
Informações fornecidas pelo enunciado (todas tiradas do próprio enunciado):
- Cada fruto
tem distribuição normal com média kg e desvio padrão kg, ou seja . - O peso do cacho
tem distribuição normal com média kg e desvio padrão kg, ou seja . - Precisamos calcular
.
Vou assumir que os
são independentes entre si e também independentes de
(isso é padrão neste tipo de questão). A resolução começa na próxima etapa.
Passo 2
Construir a soma dos 5 frutos e obter sua distribuição.
Defina
Defina
Quando somamos variáveis normais independentes, a soma também é normal. As fórmulas úteis são:
- a média da soma é a soma das médias,
- a variância da soma é a soma das variâncias (quando independentes).
Logo, a média de
é
e a variância de
é
Portanto
Passo 3
Transformar o evento pedido em uma única variável normal.
Queremos
Queremos
Se
e
são independentes e ambos normais, então a diferença
é normal com
e
(lembrando que subtrair uma variável adiciona sua variância porque
quando são independentes).
Passo 4
Calcular média e variância de
usando os valores já obtidos e os do enunciado.
A média:
A média:
A variância (usei
):
O desvio padrão de
é
Portanto
Passo 5
Padronizar
para usar a tabela da Normal padrão.
Queremos . Se padronizamos,
Queremos
Então
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando a simetria da normal, isso equivale a
Calcule o valor
:
Passo 6
Encontrar a probabilidade correspondente ao
calculado.
Usando a tabela da Normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos valores conhecidos: e
. Interpolando para
chegamos em torno de
. Portanto
Usando a tabela da Normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos valores conhecidos:
Passo 7
Interpretação final e incentivo (rapidinho): isso significa que, apesar do cacho ter média
kg, a soma de cinco frutos (média
kg) tem chance razoável de superar o cacho — cerca de
. Você fez bem em pedir passo a passo; essa técnica de passar para a diferença e padronizar é a ferramenta que costuma resolver esse tipo de exercício tranquilo na prova.