\mathrm{X} \_\mathrm{i} \sim \mathrm{N}\left(0,35 \mathrm{~kg}, 0,05^{\wedge} 2\right) e \mathrm{T} \sim \mathrm{N}\left(1,6 \mathrm{~kg}, 0,2^{\wedge} 2\right). Qual a probabilidade de que a soma dos pesos de 5 frutos seja superior ao peso de um cacho?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a soma dos pesos de 5 frutos seja superior ao peso de um cacho.
Informações fornecidas pelo enunciado (todas tiradas do próprio enunciado):
  • Cada fruto X_i tem distribuição normal com média 0,35 kg e desvio padrão 0,05 kg, ou seja \mathrm{X}_i \sim N\bigl(0,35,\;0,05^2\bigr).
  • O peso do cacho T tem distribuição normal com média 1,6 kg e desvio padrão 0,2 kg, ou seja \mathrm{T} \sim N\bigl(1,6,\;0,2^2\bigr).
  • Precisamos calcular \mathbb{P}\bigl(\sum_{i=1}^{5} X_i > T\bigr).
Vou assumir que os X_i são independentes entre si e também independentes de T (isso é padrão neste tipo de questão). A resolução começa na próxima etapa.

Passo 2

Construir a soma dos 5 frutos e obter sua distribuição.
Defina
S=\sum_{i=1}^{5} X_i.
Quando somamos variáveis normais independentes, a soma também é normal. As fórmulas úteis são:
  • a média da soma é a soma das médias,
  • a variância da soma é a soma das variâncias (quando independentes).
Logo, a média de S é
\mu_S = 5\cdot 0,35 = 1,75\\ \text{kg},
e a variância de S é
\sigma_S^2 = 5\cdot (0,05)^2 = 5\cdot 0,0025 = 0,0125\\ \text{kg}^2.
Portanto
S \sim N\bigl(1,75,\;0,0125\bigr).

Passo 3

Transformar o evento pedido em uma única variável normal.
Queremos
\mathbb{P}(S>T)=\mathbb{P}(S-T>0).
Se S e T são independentes e ambos normais, então a diferença D=S-T é normal com
\mu_D=\mu_S-\mu_T,
e
\sigma_D^2=\sigma_S^2+\sigma_T^2
(lembrando que subtrair uma variável adiciona sua variância porque \operatorname{Var}(S-T)=\operatorname{Var}(S)+\operatorname{Var}(T) quando são independentes).

Passo 4

Calcular média e variância de D=S-T usando os valores já obtidos e os do enunciado.
A média:
\mu_D = 1,75-1,6 = 0,15\\ \text{kg}.
A variância (usei \sigma_T^2=(0,2)^2=0,04):
\sigma_D^2 = 0,0125+0,04 = 0,0525\\ \text{kg}^2.
O desvio padrão de D é
\sigma_D = \sqrt{0,0525}\approx 0,2291288\\ \text{kg}.
Portanto
D=S-T \sim N\bigl(0,15,\;0,0525\bigr).

Passo 5

Padronizar D para usar a tabela da Normal padrão.
Queremos \mathbb{P}(D>0). Se padronizamos,
Z=\frac{D-\mu_D}{\sigma_D}\sim N(0,1).
Então
\mathbb{P}(D>0)=\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{0-\mu_D}{\sigma_D}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{-\mu_D}{\sigma_D}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando a simetria da normal, isso equivale a
\mathbb{P}(D>0)=\Phi\!\left(\frac{\mu_D}{\sigma_D}\right).
Calcule o valor z:
z=\frac{\mu_D}{\sigma_D}=\frac{0,15}{\sqrt{0,0525}}\approx\frac{0,15}{0,2291288}\approx 0,65465.

Passo 6

Encontrar a probabilidade correspondente ao z calculado.
Usando a tabela da Normal padrão (ou uma calculadora estatística), obtemos valores conhecidos: \Phi(0,65)\approx 0,7422 e \Phi(0,66)\approx 0,7454. Interpolando para z\approx 0,65465 chegamos em torno de 0,7438. Portanto
\mathbb{P}(S>T)=\Phi(0,65465)\approx 0,744.

Passo 7

Interpretação final e incentivo (rapidinho): isso significa que, apesar do cacho ter média 1,6 kg, a soma de cinco frutos (média 1,75 kg) tem chance razoável de superar o cacho — cerca de 74{,}4\%. Você fez bem em pedir passo a passo; essa técnica de passar para a diferença e padronizar é a ferramenta que costuma resolver esse tipo de exercício tranquilo na prova.

Resposta

\approx 0,744

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