(a) Se
. Encontrar
e
tais que
com
e
simétricos à média.
Passo 1
O enunciado dá que
é normal com média
e variância
, ou seja
. Pede-se achar
e
tais que
e com a condição extra de que
e
são simétricos em relação à média. Portanto as informações relevantes são:
- média
; - variância
(logo desvio padrão ); - probabilidade central desejada
; -
e simétricos em torno de , isto é, podemos escrever e para algum .
Passo 2
Explicação do raciocínio básico (passo-a-passo conceitual):
Quando a região é simétrica em torno da média de uma normal, é prático transformar para a normal padrão definida por
Quando a região é simétrica em torno da média de uma normal, é prático transformar para a normal padrão
Isto serve para aproveitar tabelas/valores conhecidos da normal padrão. A ideia é encontrar um número positivo
tal que
Como a transformação é linear e invertível, isso corresponde a escolher
e então
,
.
Passo 3
Aplicando a padronização ao intervalo
:
onde definimos
Portanto precisamos achar
tal que
.
Passo 4
Usando a simetria da normal padrão:
Igualando ao valor dado,
Logo
Isto significa que queremos o quantil
da normal padrão tal que a área à direita de
é
, ou seja o quantil de ordem
.
Passo 5
Como obter
: recorra a uma tabela da normal padrão ou a uma calculadora de função inversa da normal. Procure o valor
tal que
(onde
é a função distribuição da normal padrão). Fazendo isso encontramos numericamente
Comentário prático: o procedimento na prova é (i) calcular a cauda
, (ii) olhar na tabela o
correspondente a
na coluna de probabilidades acumuladas, ou usar a função inversa.
Passo 6
Agora volte para a variável original e calcule o semi-intervalo
:
Passo 7
Finalmente obtenha
e
usando
:
Passo 8
Arredondando com duas casas decimais (próprio para resposta de prova) e lembrando que usamos vírgula como separador decimal: