(a) Se X \sim N(10,49). Encontrar m e n tais que P(m<X<n)=0,9992 com m e n simétricos à média.

Passo 1

O enunciado dá que X é normal com média 10 e variância 49, ou seja X\sim N(10,49). Pede-se achar m e n tais que
P(m<X<n)=0,9992
e com a condição extra de que m e n são simétricos em relação à média. Portanto as informações relevantes são:
  • média \mu=10;
  • variância \sigma^2=49 (logo desvio padrão \sigma=7);
  • probabilidade central desejada 0,9992;
  • m e n simétricos em torno de \mu, isto é, podemos escrever m=\mu-a e n=\mu+a para algum a>0.

Passo 2

Explicação do raciocínio básico (passo-a-passo conceitual):
Quando a região é simétrica em torno da média de uma normal, é prático transformar para a normal padrão Z definida por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isto serve para aproveitar tabelas/valores conhecidos da normal padrão. A ideia é encontrar um número positivo z_0 tal que
P(-z_0<Z<z_0)=0,9992.
Como a transformação é linear e invertível, isso corresponde a escolher a=\sigma z_0 e então m=\mu-a, n=\mu+a.

Passo 3

Aplicando a padronização ao intervalo (\mu-a,\mu+a):
P(\mu-a<X<\mu+a)=P\!\left(\frac{\mu-a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{\mu+a-\mu}{\sigma}\right) = P(-z_0<Z<z_0),
onde definimos
z_0=\frac{a}{\sigma}.
Portanto precisamos achar z_0 tal que P(-z_0<Z<z_0)=0,9992.

Passo 4

Usando a simetria da normal padrão:
P(-z_0<Z<z_0)=1-2P(Z>z_0).
Igualando ao valor dado,
1-2P(Z>z_0)=0,9992 \quad\Rightarrow\quad 2P(Z>z_0)=1-0,9992=0,0008.
Logo
P(Z>z_0)=0,0004.
Isto significa que queremos o quantil z_0 da normal padrão tal que a área à direita de z_0 é 0,0004, ou seja o quantil de ordem 1-0,0004=0,9996.

Passo 5

Como obter z_0: recorra a uma tabela da normal padrão ou a uma calculadora de função inversa da normal. Procure o valor z_0 tal que \Phi(z_0)=0,9996 (onde \Phi é a função distribuição da normal padrão). Fazendo isso encontramos numericamente
z_0\approx 3,347.
Comentário prático: o procedimento na prova é (i) calcular a cauda 0,0004, (ii) olhar na tabela o z correspondente a 0,9996 na coluna de probabilidades acumuladas, ou usar a função inversa.

Passo 6

Agora volte para a variável original e calcule o semi-intervalo a:
a=\sigma z_0 = 7\cdot 3,347 \approx 23,429.

Passo 7

Finalmente obtenha m e n usando \mu=10:
m=\mu-a=10-23,429\approx -13,429,
n=\mu+a=10+23,429\approx 33,429.

Passo 8

Arredondando com duas casas decimais (próprio para resposta de prova) e lembrando que usamos vírgula como separador decimal:
m\approx -13,43,\qquad n\approx 33,43.

Resposta

m\approx -13,43
n\approx 33,43

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