Uma amostra de
de um gás ideal monoatômico inicialmente está num estado (A) sob pressão de
e numa temperatura de
gás é submetida a uma expansão isotérmica para chegar o estado (B) onde tem seu volume triplicado, e em seguida, um processo isobárico leva o gás ao estado ©, e finalmente um processo adiabático leva o gás até o estado inicial (A).
Calcule a quantidade de energia térmica trocada entre o gás e a ambiente e o trabalho realizado durante de cada processo.
Calcule a quantidade de energia térmica trocada entre o gás e a ambiente e o trabalho realizado durante de cada processo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma amostra de 0,200 mol de um gás ideal monoatômico que começa no estado A com pressão de 1,00 atm e temperatura de 300 K. O gás passa por três processos:
- Expansão isotérmica até o estado B, onde o volume triplica.
- Processo isobárico até o estado C.
- Processo adiabático de volta ao estado A.
A gente precisa calcular a quantidade de energia térmica trocada entre o gás e o ambiente e o trabalho realizado em cada um desses processos.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas leis da termodinâmica, como a Lei dos Gases Ideais, e as fórmulas para trabalho e calor em processos isotérmico, isobárico e adiabático. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro processo: Expansão isotérmica de A para B
Nesse processo, a temperatura do gás permanece constante (isotérmico). Sabemos que, para um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela equação:
Como a temperatura é constante, podemos usar essa relação para achar como a pressão muda quando o volume triplica.
Vamos definir:
- $ P_A = 1,00 , atm $
- $ V_A = ? $ (vamos achar)
- $ V_B = 3 \times V_A $
Usando a equação dos gases ideais:
A constante dos gases $ R = 0,0821 , L atm/mol K $.
Agora, o trabalho feito durante um processo isotérmico é dado por:
Como $ V_B = 3 \times V_A $:
Passo 3
Calcular o trabalho na expansão isotérmica
Vamos substituir os valores:
Calculando:
Para converter para joules (já que geralmente usamos J):
Então:
Energia térmica trocada (Q)
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a variação da energia interna é zero ($ \Delta U = 0 $), então a energia térmica trocada é igual ao trabalho realizado:
Passo 4
Segundo processo: Processo isobárico de B para C
No processo isobárico, a pressão permanece constante. Precisamos encontrar o trabalho e o calor trocado nesse processo.
Para o trabalho em um processo isobárico:
Primeiro, precisamos achar $ \Delta V = V_C - V_B $.
Também, o calor trocado em um processo isobárico é:
Onde $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante. Para um gás monoatômico, $ C_p = \frac{5}{2} R $.
Vamos descobrir $ \Delta V $ e $ \Delta T $.
Passo 5
Determinar $ \Delta V $ e $ \Delta T $ no processo isobárico
Sabemos que no estado B:
No processo isobárico até C, precisamos saber o estado final C. Mas como o ciclo retorna ao estado A, podemos inferir algumas relações.
No estado C, após o processo isobárico e antes do adiabático, vamos usar a conservação da energia e as relações dos estados. Porém, para simplificar, vamos supor que a temperatura em C é tal que, no processo adiabático, o gás retorna a A.
Vamos seguir com os cálculos do trabalho e calor no processo isobárico.
Passo 6
Calcular o trabalho e o calor no processo isobárico
Usando:
Para encontrar $ V_C $, precisamos de mais informações, possivelmente do processo adiabático seguinte. Para simplificação, vamos considerar que $ V_C $ é determinado de forma que o ciclo seja fechado.
Já o calor:
Vamos deixar esses valores em termos de $ \Delta T $ por enquanto.
Passo 7
Terceiro processo: Processo adiabático de C para A
No processo adiabático, não há troca de calor ($ Q = 0 $), e podemos usar a relação:
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3} $.
Vamos usar essa relação para conectar os estados C e A.
Passo 8
Relacionar os estados C e A usando a adiabática
Sabemos que:
Como $ P_A = P_B = 1,00 , atm $ e $ V_B = 3 V_A $, podemos substituir:
Assim:
Isso implica que, no processo isobárico, o volume volta a $ V_A $, ou seja, $ V_C = V_A $.
Passo 9
Calcular o trabalho e o calor no processo isobárico com $ V_C = V_A $
Agora que sabemos que $ V_C = V_A $, então:
O trabalho:
Mas precisamos do valor de $ V_A $. Vamos usar a equação dos gases ideais:
Então:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o ambiente.
Agora, o calor:
Primeiro, precisamos achar $ \Delta T $. Como no processo isobárico, $ V $ diminuiu de $ 3 V_A $ para $ V_A $, e a pressão é constante, podemos usar a lei dos gases para achar a nova temperatura em C:
Então:
Calculando o calor:
Passo 10
Resumo dos processos
-
Isotérmico (A → B):
- Trabalho: $ W \approx 546,0 , J $
- Calor: $ Q \approx 546,0 , J $
-
Isobárico (B → C):
- Trabalho: $ W \approx -997,4 , J $ (realizado sobre o ambiente)
- Calor: $ Q \approx -416,56 , J $ (o gás perde calor)
-
Adiabático (C → A):
- Trabalho: Usaremos a equação adiabática para calcular.
Passo 11
Processo adiabático: Trabalho de C para A
No processo adiabático, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado:
Para um gás monoatômico:
Já que $ Q = 0 $, então:
Sabemos que $ \Delta T = T_A - T_C = 300 - 100 = 200 , K $:
Resposta
A quantidade de energia térmica trocada e o trabalho realizado em cada processo são:
-
Expansão isotérmica (A → B):
- Trabalho: $ W \approx 546,0 , J $
- Calor: $ Q \approx 546,0 , J $
-
Processo isobárico (B → C):
- Trabalho: $ W \approx -997,4 , J $ (realizado sobre o ambiente)
- Calor: $ Q \approx -416,56 , J $
-
Processo adiabático (C → A):
- Trabalho: $ W \approx 498,84 , J $