O tempo médio de atendimento em um setor deve ser de 12 minutos. Uma amostra piloto de 25 atendimentos teve média de 13,2 min e desvio padrão 4,5 min. Verifique, ao nível de 10 \%, se o tempo médio aumentou.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de 10\%, se o tempo médio de atendimento aumentou em relação a 12 minutos. Informações dadas:
n=25,\qquad \bar{x}=13{,}2\\ \text{min},\qquad s=4{,}5\\ \text{min},\qquad \mu_0=12\\ \text{min},\qquad \alpha=0{,}10.
A pergunta é única: existe evidência, ao nível de 10\%, de que o tempo médio aumentou?

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (teste unilateral à direita):
H_0:\\ \mu=12
H_1:\\ \mu>12
Explicação curta: H_0 é a hipótese nula (tempo médio igual a 12) e H_1 é a hipótese alternativa que queremos provar (tempo médio maior que 12).

Passo 3

Escolha do teste e fórmula da estatística: como a variância populacional é desconhecida (não foi dado o \sigma) e a amostra é pequena ( n=25), usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor sob H_0,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • a distribuição de t tem df=n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Calcule o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{25}=5,
\text{erro padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4{,}5}{5}=0{,}9.ã
Expliquei o passo: \sqrt{n} serve para ajustar o desvio amostral ao tamanho da amostra, dando a variabilidade da média amostral.

Passo 5

Calcule a estatística t:
\bar{x}-\mu_0=13{,}2-12=1{,}2,
t=\frac{1{,}2}{0{,}9}=1{,}333\ldots \approx 1{,}33.
Mostrei como dividir: 1{,}2\div 0{,}9 = 4/3 \approx 1{,}333.

Passo 6

Determine o valor crítico e a regra de decisão: para teste unilateral à direita com \alpha=0{,}10 e df=n-1=24, consultando a tabela t obtemos o valor crítico
t_{\text{crit}}=t_{0{,}90,\,24}\approx 1{,}318.
Regra: rejeitamos H_0 se t>t_{\text{crit}}. Explicação: como queremos verificar aumento, só nos importamos com a cauda direita; o nível de 10\% é a área de rejeição dessa cauda.

Passo 7

Compare e conclua quantitativamente:
t\approx 1{,}333 > t_{\text{crit}}\approx 1{,}318,
logo rejeitamos H_0 ao nível de 10\%. Também podemos estimar o p‑valor (cauda direita):
\text{p‑valor}\approx 0{,}096
(aproximação obtida a partir da tabela/ cálculo da distribuição t com df=24). Como \text{p‑valor}<\alpha, a conclusão é a mesma.
Interpretação em palavras: há evidência estatística, ao nível de 10\%, de que o tempo médio de atendimento aumentou em relação a 12 minutos. Força da evidência: moderada (p‑valor próximo de 0{,}10) — portanto, não é uma prova extremamente forte, mas suficiente ao nível pedido.

Resposta

Rejeita‑se H_0. Ao nível de 10\% há evidências de que o tempo médio aumentou. Estatística t\approx 1{,}33, df=24, valor crítico t_{0{,}90,24}\approx 1{,}318, p‑valor \approx 0{,}096.

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