Sabendo que uma peça foi escolhida aleatoriamente e constatada como defeituosa, determine a probabilidade de que a peça tenha vindo de cada uma das máquinas M1, M2, e M3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma peça foi escolhida aleatoriamente e foi descoberta que ela é defeituosa. Precisamos descobrir a probabilidade de essa peça ter vindo de cada uma das máquinas M1, M2 e M3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade condicional. Ela nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de a peça ter vindo de uma máquina específica sabendo que ela é defeituosa, ou seja, P(Mi | D), onde D representa a peça defeituosa.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Bayes, precisamos de algumas informações:
  1. Probabilidade a priori de a peça vir de cada máquina, P(Mi). Isso geralmente depende de quantas peças cada máquina produz.
  2. Probabilidade de defeito em cada máquina, P(D | Mi).
Vamos supor que você tenha esses dados. Se não tiver, precisaremos desses valores para continuar.

Passo 4

O Teorema de Bayes nos diz que:
P(Mi | D) = P(D | Mi) cdot P(Mi)P(D)
Onde P(D) é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, que pode ser calculada pela soma das probabilidades de defeito em cada máquina multiplicadas pela probabilidade de a peça vir de cada uma delas:
P(D) = sumj=1^3 P(D | Mj) cdot P(Mj)

Passo 5

Vamos calcular P(D) usando os valores que você tiver para P(D | M1), P(D | M2), P(D | M3), P(M1), P(M2) e P(M3). Isso nos dá a probabilidade total de uma peça ser defeituosa.

Passo 6

Depois de encontrar P(D), aplicamos o Teorema de Bayes para cada máquina:
  • Para a máquina M1:
P(M1 | D) = P(D | M1) cdot P(M1)P(D)
  • Para a máquina M2:
P(M2 | D) = P(D | M2) cdot P(M2)P(D)
  • Para a máquina M3:
P(M3 | D) = P(D | M3) cdot P(M3)P(D)

Passo 7

Depois de calcular essas probabilidades, você terá a chance de a peça defeituosa ter vindo de cada uma das máquinas M1, M2 e M3.

Resposta

Portanto, utilizando o Teorema de Bayes e os dados fornecidos, você pode determinar as probabilidades P(M1 | D), P(M2 | D) e P(M3 | D) para saber de qual máquina a peça defeituosa provavelmente veio.

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