Uma amostra de 30 elementos com SQT=1000 foi empregada para ajustar modelos de regressão linear em função de 2 varáveis auxiliares (X1 ; X2). Os modelos e os respectivos coeficientes de determinação ( R^2 ) estão dispostos na tabela abaixo:
Modelo Expressão R^2
M1 Y=f(X1) 0,54
M2 Y=f(X2) 0,648
M3 Y=f(X1, X2) 0,720
Considere as seguintes assertivas:
4. A hipótese nula H0: beta1=0 ; beta2 neq 0 é não verdadeira, com F(o b s)=6,94>F(1 ; 27 ; 0,05)=4,21

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 30 elementos com Soma dos Quadrados Totais (SQT) igual a 1000. Foram ajustados três modelos de regressão linear usando duas variáveis auxiliares, e . Cada modelo tem um coeficiente de determinação ( ) diferente. A questão quer que a gente analise uma assertiva sobre uma hipótese envolvendo os coeficientes das variáveis no modelo.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é uma hipótese nula ( ) em testes estatísticos.
  • Como funciona o teste F para comparar modelos de regressão.
  • Como interpretar os valores de observados e tabelados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a hipótese nula ( ). Ela é uma afirmação que geralmente representa a ausência de efeito ou relação. No contexto de regressão, pode ser usada para testar se determinados coeficientes são iguais a zero, ou seja, se as variáveis não têm efeito sobre a variável dependente .
Na assertiva, a hipótese nula é . Isso significa que estamos testando se o coeficiente de é igual a zero enquanto o de não é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o teste F. O teste F é usado para comparar modelos de regressão e verificar se a adição de variáveis ao modelo realmente melhora o ajuste. Ele compara a variabilidade explicada pelos modelos e a variabilidade não explicada.
A fórmula do teste F é:
F = (R^2modelo comp<=to - R^2modelo reduzido) / (p - q)(1 - R^2modelo comp<=to) / (n - p - 1)
Onde:
  • é o coeficiente de determinação.
  • é o número de parâmetros no modelo completo.
  • é o número de parâmetros no modelo reduzido.
  • é o número de observações.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos modelos. Temos três modelos:
  • : com
  • : com
  • : com
A hipótese que queremos testar é se adicionar ao modelo onde já está melhora significativamente o ajuste.

Passo 5

Então, o modelo reduzido é F = (0,720 - 0,648) / (2 - 1)(1 - 0,720) / (30 - 2 - 1) = 0,0720,280 / 27 = 0,0720,01037 approx 6,94 e o modelo completo é . Vamos calcular o valor de .

Passo 6

Agora, comparamos o calculado com o valor crítico da tabela F para os graus de liberdade e nível de significância , que é 4,21.
Como , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A assertiva está correta. A hipótese nula não é verdadeira, já que é maior que .

Exercícios relacionados