Sabendo que um projeto foi selecionado aleatoriamente e foi um sucesso, qual a probabilidade de que tenha sido realizado pela Equipe 1, Equipe 2, ou Equipe 3?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projeto que foi selecionado aleatoriamente e que deu certo. Queremos descobrir qual a chance (probabilidade) de esse projeto ter sido feito pela Equipe 1, Equipe 2 ou Equipe 3. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional e a regra de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional nos ajuda a encontrar a chance de um evento ocorrer, dado que outro evento já aconteceu. No nosso caso, queremos a probabilidade de o projeto ter sido feito por uma certa equipe, dado que ele foi um sucesso.

Passo 3

Para aplicar isso, precisamos saber duas coisas:
  1. A chance de cada equipe realizar um projeto (probabilidade a priori).
  2. A chance de um projeto dar certo se for realizado por cada equipe (probabilidade de sucesso por equipe).

Passo 4

Vamos supor que temos as seguintes informações (como exemplo):
  • Equipe 1 realiza projetos com probabilidade de 30%.
  • Equipe 2 realiza projetos com probabilidade de 50%.
  • Equipe 3 realiza projetos com probabilidade de 20%.
E as taxas de sucesso são:
  • Equipe 1: 70% de sucesso.
  • Equipe 2: 60% de sucesso.
  • Equipe 3: 80% de sucesso.

Passo 5

Agora, vamos usar a regra de Bayes para cada equipe. A fórmula é:
P(Ei | S) = P(S | Ei) times P(Ei)P(S)
Onde:
  • $ P(E_i | S) $ é a probabilidade da Equipe $ i $ ter realizado o projeto dado que foi um sucesso.
  • $ P(S | E_i) $ é a probabilidade de sucesso da Equipe $ i $.
  • $ P(E_i) $ é a probabilidade de a Equipe $ i $ realizar um projeto.
  • $ P(S) $ é a probabilidade total de sucesso.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular $ P(S) $, a probabilidade total de sucesso:
P(S)
Substituindo os valores:
P(S) = P(S | E1) times P(E1) + P(S | E2) times P(E2) + P(S | E3) times P(E3)

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada equipe:
Para Equipe 1:
P(E1 | S) = 0,7 times 0,30,67 approx 0,210,67 approx 0,3134 ou 31,34%
Para Equipe 2:
P(E2 | S) = 0,6 times 0,50,67 approx 0,30,67 approx 0,4478 ou 44,78%
Para Equipe 3:
P(E3 | S) = 0,8 times 0,20,67 approx 0,160,67 approx 0,2388 ou 23,88%

Resposta

A probabilidade de que o projeto bem-sucedido tenha sido realizado pela Equipe 1 é de aproximadamente 31,34%, pela Equipe 2 é de 44,78% e pela Equipe 3 é de 23,88%.

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