Se uma amostra com 36 observações for tomada de uma população, qual deve ser o tamanho de uma outra amostra para que o desvio padrão dessa amostra seja 2 / 3 do desvio padrão da média da primeira?

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra de tamanho n_1=36 é retirada de uma população com desvio-padrão \sigma, e que o desvio-padrão da média dessa primeira amostra (isto é, o erro-padrão) é
\sigma_{\bar X_1} = \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}.
Queremos encontrar o tamanho n_2 de outra amostra tal que o erro-padrão dessa segunda amostra seja \tfrac{2}{3} de \sigma_{\bar X_1}. Para isso, vamos usar a fórmula do erro-padrão da média:
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Calculamos primeiro o erro-padrão da primeira amostra:
\sigma_{\bar X_1} = \frac{\sigma}{\sqrt{36}} = \frac{\sigma}{6}.

Passo 3

O enunciado pede que o erro-padrão da segunda amostra seja
\sigma_{\bar X_2} = \frac{2}{3}\,\sigma_{\bar X_1} = \frac{2}{3}\,\frac{\sigma}{6} = \frac{\sigma}{9}.
Mas também pela fórmula geral temos
\sigma_{\bar X_2} = \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}.

Passo 4

Igualando as duas expressões para \sigma_{\bar X_2}:
\frac{\sigma}{\sqrt{n_2}} = \frac{\sigma}{9}.
Como \sigma>0, podemos cancelar \sigma em ambos os lados,
\frac{1}{\sqrt{n_2}} = \frac{1}{9} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n_2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad n_2 = 9^2 = 81.

Resposta

O tamanho da segunda amostra deve ser 81.

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