Uma amostra de 625 donas de casa revela que 70 % delas preferem a marca A de detergente. Construir um intervalo de confiança para proporção das donas de casa que preferem A com nível de confiança 95%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pesquisa com 625 donas de casa e descobriu que 70% delas preferem a marca A de detergente. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual a proporção real de donas de casa que preferem a marca A. Para isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre intervalo de confiança para proporção. Precisamos saber como calcular a proporção amostral, o erro padrão e então aplicar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção amostral. Isso é só a porcentagem das donas de casa na amostra que preferem a marca A. A gente já sabe que é 70%, ou seja, 0,70.
p = 0,70

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação a proporção amostral pode ter em relação à proporção verdadeira da população. A fórmula do erro padrão (EP) para proporção é:
EP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • EP = raiz0,70 times (1 - 0,70)625 = raiz0,70 times 0,30625 = raiz0,21625 approx raiz0,000336 approx 0,0183 é a proporção amostral (0,70)
  • é o tamanho da amostra (625)
Vamos calcular:

Passo 4

Com o erro padrão em mãos, precisamos encontrar o valor crítico para um nível de confiança de 95%. Esse valor crítico, geralmente denotado por Z = 1,96 , corresponde a quantos desvios padrão precisamos considerar para capturar 95% da distribuição. Para 95%, o valor crítico é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
Intervalo de Confiança = p pm Z times EP ç
Substituindo os valores que já temos:
0,70 pm 1,96 times 0,0183
Vamos calcular a margem de erro:
1,96 times 0,0183 approx 0,0359

Passo 6

Finalmente, vamos calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
Limite Inferior = 0,70 - 0,0359 = 0,6641
Limite Superior = 0,70 + 0,0359 = 0,7359

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção das donas de casa que preferem a marca A é aproximadamente de 66,41% a 73,59%.

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