Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
(1+t^2) u^prime(t)+4 t U(t)=(1+t^2)^-2.

Passo 1

O enunciado pede para achar as soluções da EDO de primeira ordem
(1+t^2),u'(t)+4t,u(t)=(1+t^2)^-2,
usando técnicas de equações lineares de 1ª ordem (forma padrão e fator integrante).

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por (1+t^2) para ficar na forma
u'(t)+P(t),u(t)=Q(t),
onde
P(t)=4t1+t^2,
Q(t)=(1+t^2)^-3

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 4t1+t^2,dtr)
Fazendo a integral,
integral 4t1+t^2,dt=2integral 2t1+t^2,dt=2ln(1+t^2),
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mu(t)=e^2ln(1+t^2)=(1+t^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padronizada por mu(t)=(1+t^2)^2. O lado esquerdo vira derivada de produto:
(1+t^2)^2u'(t)+4t(1+t^2)u(t)=ddtl[(1+t^2)^2u(t)r],
e o lado direito fica
(1+t^2)^2(1+t^2)^-3=(1+t^2)^-1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
ddtl[(1+t^2)^2u(t)r]=(1+t^2)^-1
(1+t^2)^2u(t)=integral(1+t^2)^-1dt+C=arctan(t)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos u(t):
u(t)=arctan(t)+C(1+t^2)^2

Resposta

u(t)=\frac{\arctan(t)+C}{(1+t{2}){2}},\quad C\in\mathbb{R}.

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