Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
t u^prime(t)+(t+1) u(t)=t.

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem t,u'(t)+(t+1),u(t)=t. O assunto é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, divido tudo por t (assumindo tneq0) para deixar na forma padrão u'(t)+p(t),u(t)=g(t):
u'(t)+l(1+1tr)u(t)=1

Passo 3

Agora, calculo o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt. Aqui p(t)=1+1/t, logo:
mu(t)=e^integral (1+1/t),dt=e^t+ln t=t,e^t

Passo 4

Multiplico a equação padrão por mu(t)=t e^t. O lado esquerdo vira derivada de t e^t u(t):
ddtl(t e^t u(t)r)=t e^tcdot1

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a t:
integral dl(t e^t u(t)r)=integral t e^t ,dt
Usando integração por partes em integral t e^t dt, obtenho t e^t - e^t + C. Então:
t e^t u(t)=t e^t - e^t + C

Passo 6

Finalmente isolo u(t):
u(t)=t e^t - e^t + Ct e^t=t-1t+C e^-tt=1-1t+C e^-tt

Resposta

u(t)=1-tfrac1t+tfracC,e^-tt

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