Uma amostra de água foi analisada para conhecer sua dureza. A análise foi repetida três vezes e resultaram nos seguintes valores em ppm de \mathrm{CaCO}_{3} : 102,2; 102,8 e 103,1. Calcule o desvio padrão e o desvio padrão relativo.

Passo 1

O enunciado nos dá três medidas da dureza da mesma amostra (em ppm de \mathrm{CaCO}_{3}) e pede dois cálculos:
  • Valores fornecidos: \,102{,}2, \,102{,}8 e \,103{,}1 (todas em ppm de \mathrm{CaCO}_{3}).
  • O que pedir: calcular o desvio padrão (da amostra de repetições) e o desvio padrão relativo (em porcentagem).

Passo 2

Calcular a média aritmética dos dados. A média \bar{x} de n observações \{x_i\} é definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Aqui n=3 e os x_i são \,102{,}2, \,102{,}8 e \,103{,}1. Substituindo:
\bar{x}=\frac{102{,}2+102{,}8+103{,}1}{3}=\frac{308{,}1}{3}=102{,}7\\ \text{ppm}.

Passo 3

Explicar qual desvio padrão usar. Para experimentos com poucas repetições de uma mesma amostra costuma-se usar o desvio padrão amostral (não viesado), denotado por s, que estima a variabilidade das medições. A variância amostral é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2},
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}.
Aqui n-1=2.

Passo 4

Calcular as diferenças em relação à média e os quadrados dessas diferenças.
  • Para x_1=102{,}2: x_1-\bar{x}=102{,}2-102{,}7=-0{,}5. Quadrado: (-0{,}5)^{2}=0{,}25.
  • Para x_2=102{,}8: x_2-\bar{x}=102{,}8-102{,}7=0{,}1. Quadrado: (0{,}1)^{2}=0{,}01.
  • Para x_3=103{,}1: x_3-\bar{x}=103{,}1-102{,}7=0{,}4. Quadrado: (0{,}4)^{2}=0{,}16.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{3}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}=0{,}25+0{,}01+0{,}16=0{,}42.

Passo 5

Calcular a variância e o desvio padrão amostral.
s^{2}=\frac{0{,}42}{n-1}=\frac{0{,}42}{2}=0{,}21\\ (\text{ppm}^{2}).
s=\sqrt{0{,}21}\approx0{,}458257\dots\\ \text{ppm}.
Arredondando de forma apropriada (os dados originais têm três algarismos significativos), pode-se reportar s\approx0{,}46\\ \text{ppm}.

Passo 6

Definir o desvio padrão relativo (às vezes chamado de coeficiente de variação). É dado por
\text{RSD}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
Aqui s é o desvio padrão amostral e \bar{x} é a média.

Passo 7

Calcular o desvio padrão relativo usando os valores encontrados:
\text{RSD}=\frac{0{,}458257\dots}{102{,}7}\times100\%\approx0{,}446\%\\ .
Arredondando adequadamente, obtemos \text{RSD}\approx0{,}45\%.

Passo 8

Resumo numérico (valores calculados antes do arredondamento):
  • Média: \bar{x}=102{,}7\\ \text{ppm}.
  • Desvio padrão amostral: s\approx0{,}458257\\ \text{ppm} (reportado 0{,}46\\ \text{ppm}).
  • Desvio padrão relativo: \text{RSD}\approx0{,}446\% (reportado 0{,}45\%).
Força aí — valores mostram que as três medições são bem consistentes (RSD bem pequena), então a repetição foi precisa!

Resposta

s\approx0{,}46\\ \text{ppm}
\text{RSD}\approx0{,}45\%

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