As análises de um minério de ferro proporcionaram os seguintes valores para o teor de ferro: 7,08 ; 7,21; 7,12; 7,09; 7,16; 7,14; 7,07; 7,14; 7,18; 7,11. Calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação do conjunto de valores.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos valores medidos.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
x_1=7,08, x_2=7,21, x_3=7,12, x_4=7,09, x_5=7,16, x_6=7,14, x_7=7,07, x_8=7,14, x_9=7,18, x_{10}=7,11.
Tamanho da amostra: n=10.

Passo 2

Média aritmética: fórmula e interpretação. A média aritmética é o “centro” dos valores e é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são as observações individuais.
Calculemos a soma e a média:
\sum_{i=1}^{10} x_i=7,08+7,21+7,12+7,09+7,16+7,14+7,07+7,14+7,18+7,11=71,30,
\bar{x}=\frac{71,30}{10}=7,13.

Passo 3

Desvio padrão: qual fórmula usar e por quê. Existem duas fórmulas comuns:
  • desvio padrão populacional: \sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2};
  • desvio padrão amostral (mais usado quando os dados são uma amostra): s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
Aqui trataremos os valores como uma amostra de análises, então usamos a fórmula amostral com n-1 (corrige o viés). Na fórmula, s é o desvio padrão amostral, x_i são as observações e \bar{x} a média.

Passo 4

Calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados. Vou listar cada termo (mostrando os cálculos para você poder reproduzir na prova):
x_1=7,08:\quad x_1-\bar{x}=7,08-7,13=-0,05,\quad (x_1-\bar{x})^2=0,0025.
x_2=7,21:\quad x_2-\bar{x}=7,21-7,13=0,08,\quad (x_2-\bar{x})^2=0,0064.
x_3=7,12:\quad x_3-\bar{x}=7,12-7,13=-0,01,\quad (x_3-\bar{x})^2=0,0001.
x_4=7,09:\quad x_4-\bar{x}=7,09-7,13=-0,04,\quad (x_4-\bar{x})^2=0,0016.
x_5=7,16:\quad x_5-\bar{x}=7,16-7,13=0,03,\quad (x_5-\bar{x})^2=0,0009.
x_6=7,14:\quad x_6-\bar{x}=7,14-7,13=0,01,\quad (x_6-\bar{x})^2=0,0001.
x_7=7,07:\quad x_7-\bar{x}=7,07-7,13=-0,06,\quad (x_7-\bar{x})^2=0,0036.
x_8=7,14:\quad x_8-\bar{x}=7,14-7,13=0,01,\quad (x_8-\bar{x})^2=0,0001.
x_9=7,18:\quad x_9-\bar{x}=7,18-7,13=0,05,\quad (x_9-\bar{x})^2=0,0025.
x_{10}=7,11:\quad x_{10}-\bar{x}=7,11-7,13=-0,02,\quad (x_{10}-\bar{x})^2=0,0004.

Passo 5

Somar os quadrados das diferenças e obter a variância amostral:
\sum_{i=1}^{10} (x_i-\bar{x})^2=0,0025+0,0064+0,0001+0,0016+0,0009+0,0001+0,0036+0,0001+0,0025+0,0004=0,0182.
Variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{0,0182}{10-1}=\frac{0,0182}{9}=0,002022\ldots

Passo 6

Desvio padrão (raiz da variância):
s=\sqrt{0,002022\ldots}\approx 0,04497\ldots\approx 0,045.
Explicando o arredondamento: como os dados têm duas casas decimais, arredondei o desvio para três casas decimais significativas, ficando s\approx0,045.

Passo 7

Coeficiente de variação: fórmula e cálculo. O coeficiente de variação mede a variação relativa em relação à média e é dado por
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores:
\mathrm{CV}=\frac{0,04497\ldots}{7,13}\times 100\%\approx 0,6305\%\approx 0,631\%.
Interpretação rápida: o CV é pequeno ( \approx0,63\%), ou seja, as medições estão bem próximas umas das outras em relação à média — ótimo sinal de repetibilidade.

Resposta

\bar{x}=7,13
s\approx0,045
\mathrm{CV}\approx0,631\%

Exercícios relacionados