Uma amostra aleatória de 100 pessoas de uma localidade indicou que 59 eram favoráveis a certa proposição. Estimar, através de um intervalo de 90 % de confiança, a fração da população favorável à proposição.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma amostra de 100 pessoas, das quais 59 estão a favor de uma certa proposta. O nosso objetivo aqui é estimar qual a fração real da população que apoia essa proposta, usando um intervalo de confiança de 90%. Para isso, vamos trabalhar com estatística, mais especificamente com estatísticas de proporção e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma proporção amostral. A proporção amostral é simplesmente a parte da amostra que tem a característica que estamos estudando. No nosso caso, temos 59 pessoas favoráveis em uma amostra de 100, então a proporção amostral ($ \hat{p} $) é:
p

Passo 3

Agora, para estimar a proporção da população ($ p $) com um intervalo de confiança de 90%, usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
p
Aqui, $ z $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado, e $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos determinar o valor de $ z $ para um intervalo de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% significa que queremos capturar a verdadeira proporção da população em 90% das vezes. O valor de $ z $ correspondente a 90% de confiança é aproximadamente 1.645. Isso significa que 90% da distribuição normal está dentro de 1.645 desvios padrão do centro.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão ($ SE $), que é a raiz quadrada da variância da proporção:
SE

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos agora determinar a margem de erro multiplicando o valor crítico $ z $ pelo erro padrão:
z

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à proporção amostral:
p - Mar>=m de Erro = 0.59 - 0.0808 = 0.5092
p + Mar>=m de Erro = 0.59 + 0.0808 = 0.6708

Resposta

Com um intervalo de confiança de 90%, estimamos que a fração da população favorável à proposição está entre aproximadamente 50,92% e 67,08%.

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