Sem embasamento estatístico nenhum, o prefeito de certo município deseja estimar a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 121 turistas foi selecionada para a investigação e encontrou-se que a média foi igual a
e desvio padrão de
.
(a) Achar o intervalo de confiança, a
para a média dos gastos de turistas com a cidade.
(b) Qual deveria ser o tamanho da amostra, fixando uma margem de erro de
e um nível de confiança de
.
(a) Achar o intervalo de confiança, a
(b) Qual deveria ser o tamanho da amostra, fixando uma margem de erro de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. O prefeito quer saber, com certa confiança, qual é a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Para isso, ele coletou uma amostra aleatória de 121 turistas, onde a média dos gastos foi de R$ 500,00 e o desvio padrão foi de R$ 250,00. Vamos usar conceitos de intervalo de confiança e tamanho da amostra para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos.
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que a média verdadeira dos gastos dos turistas esteja, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 99%.
Para calcular esse intervalo, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (R$ 500,00). -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (99%). -
é o desvio padrão da população (R$ 250,00). -
é o tamanho da amostra (121).
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 99%. Esse valor corresponde aos pontos que capturam os 99% centrais da distribuição normal. Consultando uma tabela de valores
, encontramos que:
Passo 4
Com todos os valores, substituímos na fórmula:
Então, o intervalo de confiança é:
Passo 5
Isso significa que:
Portanto, o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é de R$ 441,50 a R$ 558,50.
Passo 6
Parte (b): Determinar o tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de 5% e nível de confiança de 98%.
Primeiro, a margem de erro (
) de 5% significa que queremos que a estimativa da média esteja dentro de 5% do valor real. Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o valor crítico para 98% de confiança. -
é o desvio padrão (R$ 250,00). -
é a margem de erro desejada.
Passo 7
Encontramos o valor de
para 98% de confiança, que é aproximadamente:
A margem de erro de 5% aplicada à média estimada de R$ 500,00 é:
Passo 8
Substituindo esses valores na fórmula:
Como não podemos ter uma fração de pessoa, arredondamos para cima:
Resposta
(a) O intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é de R$ 441,50 a R$ 558,50.
(b) O tamanho da amostra necessário é de 541 turistas.