Sem embasamento estatístico nenhum, o prefeito de certo município deseja estimar a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 121 turistas foi selecionada para a investigação e encontrou-se que a média foi igual a R e desvio padrão de e desvio padrão de .
(a) Achar o intervalo de confiança, a 250,00 para a média dos gastos de turistas com a cidade.
(b) Qual deveria ser o tamanho da amostra, fixando uma margem de erro de 99 % e um nível de confiança de 5 %.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. O prefeito quer saber, com certa confiança, qual é a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Para isso, ele coletou uma amostra aleatória de 121 turistas, onde a média dos gastos foi de R$ 500,00 e o desvio padrão foi de R$ 250,00. Vamos usar conceitos de intervalo de confiança e tamanho da amostra para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos.
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que a média verdadeira dos gastos dos turistas esteja, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 99%.
Para calcular esse intervalo, usamos a seguinte fórmula:
Intervalo de Confiança = barx pm z ( sigmaraizn ) ç
Onde:
  • barx é a média da amostra (R$ 500,00).
  • 500,00) - é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (99%).
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (99%) - é o desvio padrão da população (R$ 250,00).
  • é o desvio padrão da população (R é o tamanho da amostra (121).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de z para um nível de confiança de 99%. Esse valor corresponde aos pontos que capturam os 99% centrais da distribuição normal. Consultando uma tabela de valores z, encontramos que:
z approx 2,576

Passo 4

Com todos os valores, substituímos na fórmula:
Mar>=m de Erro = 2,576 times ( 250raiz121 ) = 2,576 times ( 25011 ) approx 2,576 times 22,727 approx 58,5
Então, o intervalo de confiança é:
500 pm 58,5

Passo 5

Isso significa que:
500 - 58,5 = 441,5 500 + 58,5 = 558,5
Portanto, o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é de R$ 441,50 a R$ 558,50.

Passo 6

Parte (b): Determinar o tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de 5% e nível de confiança de 98%.
Primeiro, a margem de erro ( E) de 5% significa que queremos que a estimativa da média esteja dentro de 5% do valor real. Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula:
n = ( z times sigmaE )^2
Onde:
  • z é o valor crítico para 98% de confiança.
  • sigma é o desvio padrão (R$ 250,00).
  • 250,00) - é a margem de erro desejada.

Passo 7

Encontramos o valor de z para 98% de confiança, que é aproximadamente:
z approx 2,326
A margem de erro de 5% aplicada à média estimada de R$ 500,00 é:
500,00 é:

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula:
n = ( 2,326 times 25025 )^2 = ( 581,525 )^2 = (23,26)^2 approx 540,24
Como não podemos ter uma fração de pessoa, arredondamos para cima:
n approx 541

Resposta

(a) O intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é de R$ 441,50 a R$ 558,50.
(b) O tamanho da amostra necessário é de 541 turistas.

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