Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem-se comportado como uma variável aleatória normal com média 350 ml e desvio padrão 3 ml . Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração na média. Uma amostra de 40 latas acusou média 346 ml . Encontre um IC para a verdadeira média com 95 e 99 % de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que a quantidade de cerveja nas latas segue uma distribuição normal com média de 350 ml e desvio padrão de 3 ml. A suspeita é que a média mudou após alguns problemas na produção. Tiramos uma amostra de 40 latas e a média foi de 346 ml. Nosso objetivo aqui é encontrar o intervalo de confiança para a verdadeira média com 95% e 99% de confiança.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Intervalo de Confiança para a média, especialmente quando o desvio padrão da população é conhecido. Vamos utilizar a distribuição normal (z) para calcular os limites do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão da população é conhecido:
barx pm z^* ( sigmaraizn )
Aqui:
  • barx é a média da amostra.
  • z^* é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
No nosso caso:
  • barx = 346 ml
  • sigma = 3 ml
  • n = 40

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores críticos z^* para os níveis de confiança de 95% e 99%. Esses valores correspondem aos pontos na distribuição normal que deixam uma certa área nas caudas.
  • Para 95% de confiança:
    • A área nas duas caudas é 5%, ou seja, 2,5% em cada cauda.
    • O valor crítico z^* correspondente é aproximadamente 1,96.
  • Para 99% de confiança:
    • A área nas duas caudas é 1%, ou seja, 0,5% em cada cauda.
    • O valor crítico z^* correspondente é aproximadamente 2,576.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn.
Erro Padrão = 3raiz40 approx 36,3246 approx 0,4743 ml ã

Passo 5

Agora, vamos calcular os intervalos de confiança usando os valores críticos encontrados.
  • Para 95% de confiança:
    346 pm 1,96 times 0,4743
    Calculando:
    346 pm 0,928
    Portanto, o intervalo é de aproximadamente 345,07 ml a 346,93 ml.
  • Para 99% de confiança:
    346 pm 2,576 times 0,4743
    Calculando:
    346 pm 1,220
    Portanto, o intervalo é de aproximadamente 344,78 ml a 347,22 ml.

Resposta

O intervalo de confiança para a verdadeira média é:
  • 95% de confiança: de 345,07 ml a 346,93 ml.
  • 99% de confiança: de 344,78 ml a 347,22 ml.

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