Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem-se comportado como uma variável aleatória normal com média 350 ml e desvio padrão 3 ml . Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração na média. Uma amostra de 40 latas acusou média 346 ml . Encontre um IC para a verdadeira média com 95 e
de confiança.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que a quantidade de cerveja nas latas segue uma distribuição normal com média de 350 ml e desvio padrão de 3 ml. A suspeita é que a média mudou após alguns problemas na produção. Tiramos uma amostra de 40 latas e a média foi de 346 ml. Nosso objetivo aqui é encontrar o intervalo de confiança para a verdadeira média com 95% e 99% de confiança.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Intervalo de Confiança para a média, especialmente quando o desvio padrão da população é conhecido. Vamos utilizar a distribuição normal (z) para calcular os limites do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão da população é conhecido:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
No nosso caso:
-
ml -
ml -
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores críticos
para os níveis de confiança de 95% e 99%. Esses valores correspondem aos pontos na distribuição normal que deixam uma certa área nas caudas.
-
Para 95% de confiança:
- A área nas duas caudas é
, ou seja, em cada cauda. - O valor crítico
correspondente é aproximadamente 1,96.
- A área nas duas caudas é
-
Para 99% de confiança:
- A área nas duas caudas é
, ou seja, em cada cauda. - O valor crítico
correspondente é aproximadamente 2,576.
- A área nas duas caudas é
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média, que é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os intervalos de confiança usando os valores críticos encontrados.
-
Para 95% de confiança:Calculando:Portanto, o intervalo é de aproximadamente 345,07 ml a 346,93 ml.
-
Para 99% de confiança:Calculando:Portanto, o intervalo é de aproximadamente 344,78 ml a 347,22 ml.
Resposta
O intervalo de confiança para a verdadeira média é:
- 95% de confiança: de 345,07 ml a 346,93 ml.
- 99% de confiança: de 344,78 ml a 347,22 ml.