Numa amostra aleatória de 300 universitários, 180 tinham algum tipo de preconceito.
(a) Obter o intervalo de 95 % de confiança para a proporção verdadeira, p , de universitários que tem algum tipo de preconceito.
(b) Quantos estudantes deveriam ter sido entrevistados, para que fosse de 5 % a margem de erro, com 95 % de confiança, para a verdadeira proporção de universitários que tem algum tipo de preconceito.

Passo 1

Beleza! Então, temos uma questão de estatística onde precisamos trabalhar com proporções. O enunciado nos diz que, numa amostra aleatória de 300 universitários, 180 tinham algum tipo de preconceito. Vamos precisar usar conceitos de intervalo de confiança para proporções e calcular o tamanho da amostra necessário para uma determinada margem de erro. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores onde acreditamos que a verdadeira proporção da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%).

Passo 3

Para calcular o intervalo de confiança, precisamos primeiro encontrar a proporção amostral. Isso é feito dividindo o número de casos favoráveis pelo total da amostra.
p = 180300 = 0,6
Então, a proporção amostral é 0,6, ou 60%.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção amostral (0,6)
  • Z é o valor crítico para o nível de confiança desejado (95% corresponde a Z approx 1,96)
  • n é o tamanho da amostra (300)

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,6 times (1 - 0,6)300 = raiz0,6 times 0,4300 = raiz0,24300 = raiz0,0008 approx 0,0283

Passo 6

Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico Z:
1,96 times 0,0283 approx 0,0555

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,6 pm 0,0555
Isso resulta em:
(0,5445, 0,6555)

Resposta

(a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de universitários com algum tipo de preconceito é aproximadamente de 54,45% a 65,55%.
(b) Para uma margem de erro de 5% com 95% de confiança, o número de estudantes que deveriam ser entrevistados é de aproximadamente 384.

Exercícios relacionados