Uma amostra aleatória de 100 pneus produzida por uma fábrica apresentou duração média de 32.000 Km com desvio padrão de 2000 Km .
Teste se o tempo médio de vida de pneus é de 30.000 Km , conforme afirma o fabricante, aos níveis de significância de 1% e 10%.
Passo 1
O enunciado pede para testar se o tempo médio de vida dos pneus é de 30\,000 km, usando níveis de significância de 1\% e 10\%. Dados fornecidos: \;n=100 (tamanho da amostra), \;\overline{x}=32\,000 km (média amostral), \;s=2\,000 km (desvio padrão amostral),
e a hipótese do fabricante é \mu_0=30\,000 km.
A pergunta é: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese \mu=\mu_0 nos níveis \alpha=0,01 e \alpha=0,10?
Passo 2
Definição das hipóteses e escolha do teste (sem cálculos ainda).
Hipótese nula e alternativa (teste bilateral, porque queremos testar se a média é igual a 30\,000 ou diferente):
H_0:\mu=\;30\,000\qquad H_1:\mu\neq\;30\,000.
Explicação sobre o método: o desvio padrão populacional não foi fornecido, temos s amostral. Para amostras grandes (n\ge 30), o Teorema Central do Limite garante que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal; portanto podemos usar o teste z (aproximação normal). Se quisesse ser mais exato usaríamos o teste t com n-1 graus de liberdade, mas para n=100 a diferença é desprezível e o z é mais simples na prova.
Fórmula do estatístico de teste (z):
z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}}.
Aqui:
\overline{x} é a média amostral,
\mu_0 é a média hipotética sob H_0,
s é o desvio padrão amostral (usado como aproximação de \sigma),
n é o tamanho da amostra,
\dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
Passo 3
Calcular o erro padrão da média e o valor do estatístico z.
Comentário: o valor z=10 é enorme; isso já indica forte evidência contra H_0, mas vamos comparar com os valores críticos.
Passo 4
Determinar os valores críticos para cada nível de significância (teste bilateral) e tomar decisão.
Para um teste bilateral com nível \alpha, os pontos críticos são \pm z_{1-\alpha/2} onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão.
Para \alpha=0,01 (ou 1\%): \alpha/2=0,005. O quantil é z_{0,995}\approx 2{,}576. Rejeitamos H_0 se |z|>2{,}576.
Para \alpha=0,10 (ou 10\%): \alpha/2=0,05. O quantil é z_{0,95}\approx 1{,}645. Rejeitamos H_0 se |z|>1{,}645.
Comparando: |z|=10 é muito maior que ambos 2{,}576 e 1{,}645. Logo, em ambos os níveis rejeitamos H_0.
Passo 5
Cálculo (ou estimativa) do p-valor e interpretação prática.
O p-valor para um teste bilateral é
\text{p-valor}=2\bigl(1-\Phi(|z|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Como |z|=10 é muito grande, \Phi(10) é praticamente 1, então
\text{p-valor}\approx 0 \text{ (extremamente próximo de zero)}.ó
Interpretação: há evidência amostral muito forte de que a média verdadeira dos pneus não é 30\,000 km; como a média amostral é maior (32\,000), os dados sugerem que a média populacional é maior que 30\,000 km.
Resposta
Para \alpha=0,01: rejeita-se H_0.
Para \alpha=0,10: rejeita-se H_0.