Questão 3. Aplicações em pesquisas de satisfação: Uma grande empresa incorporadora de empreendimentos imobiliários, presente em todo o Brasil, realizou uma pesquisa mercadológica sobre o nível de satisfação de seus clientes quanto ao prazo de entrega das unidades. Sabendo que o intervalo de confiança IC(95%) obtido para a proporção de clientes satisfeitos foi o seguinte:
[0,3122 ; 0,4522] \text { ou }[31,22 \% ; 45,22 \%]
Item a.) (1,0 ponto) De acordo com o intervalo de confiança acima, quantos clientes foram consultados nessa amostra prévia?
Item b.) (1,0 ponto) Ainda considerando os resultados dessa amostra prévia, quantos clientes deveriam ser entrevistados considerando uma margem de erro de 6 \% ? Caso não haja nenhuma amostra ainda, quantos indivíduos devem ser entrevistados assumindo a mesma margem de erro de 6 \% ?

Passo 1

O enunciado fornece um intervalo de confiança para a proporção de clientes satisfeitos com nível de confiança de 95%:
[0,3122 ; 0,4522].
As perguntas são:
  1. (Item a) Quantos clientes foram consultados nessa amostra prévia?
  2. (Item b) Com a mesma amostra prévia, quantos clientes seriam necessários para obter margem de erro de 6\%? E se não houver amostra prévia, quantos clientes seriam necessários assumindo a mesma margem de erro de 6\%?
Informações relevantes dadas: os extremos do IC são \,0,3122 e \,0,4522, e o nível de confiança é 95\% (logo usaremos z_{0,975}=1,96).

Passo 2

Vamos extrair a estimativa pontual \hat{p} (o centro do intervalo) e a meia‑largura do intervalo (margem de erro observada) E.
Calculemos o centro:
\hat{p}=\frac{0,3122+0,4522}{2}=0,3822.
Calculemos a meia‑largura:
E=\frac{0,4522-0,3122}{2}=0,07\quad(\text{ou }7\%).

Passo 3

Explico a fórmula que liga E, \hat{p} e o tamanho da amostra n.
Para proporção, o IC de nível 1-\alpha é dado por
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimativa pontual),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96),
  • n é o tamanho da amostra,
  • a expressão \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção.
    A meia‑largura E satisfaz
E = z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Isolando n:
n = \frac{z_{1-\alpha/2}^2\;\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}.

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos ( \hat{p}=0,3822, E=0,07, z_{0,975}=1,96).
Primeiro calculemos \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=0,3822\cdot(1-0,3822)=0,3822\cdot0,6178=0,23612196\approx0,236122.
Agora z^2:
z_{0,975}^2=1,96^2=3,8416.
Calcule o numerador:
3,8416\cdot0,236122\approx0,907086.
Divida por E^2:
n=\frac{0,907086}{0,07^2}=\frac{0,907086}{0,0049}\approx185,113.
Como n deve ser inteiro, verificamos que com n=185 o erro padrão e, consequentemente, a meia‑largura ficam muito próximos do observado; de fato plugging n=185 produz uma meia‑largura \approx0,069995 que, ao arredondar nas casas dadas, gera exactamente os extremos do intervalo fornecido. Logo a amostra prévia tem
n=185\\ \text{clientes}.

Passo 5

Usamos a mesma fórmula com E=0,06.
Mantemos z_{0,975}^2=3,8416 e \hat{p}(1-\hat{p})\approx0,236122.
n=\frac{3,8416\cdot0,236122}{0,06^2}=\frac{0,907086}{0,0036}\approx252,524.
Como precisamos de inteiro e devemos assegurar que a margem de erro seja no máximo 6\%, arredondamos para cima:
n=253\\ \text{clientes (usando a amostra prévia como estimativa de } \hat{p}).é

Passo 6

Se não há amostra prévia, a prática conservadora é usar p=0,5 porque maximiza p(1-p) e, portanto, garante tamanho suficiente. Assim p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25.
n=\frac{3,8416\cdot0,25}{0,06^2}=\frac{0,9604}{0,0036}\approx266,777\ldots
Arredondando para cima para garantir a margem:
n=267\\ \text{clientes (sem amostra prévia, caso conservador)}.é

Resposta

Item a) 185 clientes
Item b) com a amostra prévia: 253 clientes
Item b) sem amostra (caso conservador, p=0{,}5): 267 clientes

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