Questão 2. Aplicações em empresas alimentícias: Uma empresa do ramo de Fast Food deseja estimar o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size (em minutos) segundo o sistema de Drive Thru Service e também segundo o sistema In Loco Service. Para isso, considerou-se uma amostra de pedidos de cada serviço e os resultados encontram-se abaixo:
Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - Drive Thru Service.
4,1 4,1 1,2 2,5 3,7 3,2 6,1 2,5 4,0 4,6 3,3
3,9 3,7 4,3 2,8 4,5 4,2 2,4 2,8 5,1 3,0 1,8
4,0 4,2 2,2 3,7 3,7 3,5 4,0 4,2 2,4 3,1 3,8
4,5 3,3 3,2 4,1 3,9 3,1 3,0 3,2 4,0 4,4 2,1
Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - In Loco Service.
5,5 5,5 3,4 4,6 5,2 5,6 4,4 4,6 6,3 6,9 6,7
4,2 6,4 6,1 3,0 4,9 4,4 3,9 5,4 4,3 5,7 4,1
Assumindo que o tempo X de preparo do Burguer King Size (em minutos) segue o modelo normal com variância populacional \sigma^{2} desconhecida, responda os itens a seguir.
Item a. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo de confiança IC( 95 \% ) para o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size pelo sistema Drive Thru Service.
Item b. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo de confiança IC( 95 \% ) para o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size pelo sistema In Loco Service.
Item c. (1,0 ponto) Faça comentários pertinentes sobre a conclusão que podemos chegar acerca dos intervalos obtidos nos itens anteriores.
Item d. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveriamos considerar para estimar o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de e=0,25 minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item e. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveríamos considerar para estimar o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de e=0,10 minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item f. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveríamos considerar para estimar o tempo médio \mu de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de e=0,50 minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras de tempos de preparo (em minutos) do mesmo produto em dois sistemas: Drive Thru Service e In Loco Service, e pede: (a) intervalo de confiança de 95\% para a média de cada sistema; (b) interpretar; (c) comparar os intervalos; (d,e,f) calcular tamanhos de amostra necessários para precisões dadas ( e=0,25, e=0,10, e=0,50) mantendo o nível de confiança 95\%, e dizer se as amostras atuais são suficientes. Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
Drive Thru Service (valores lidos da tabela): 4,1,\;4,1,\;1,2,\;2,5,\;3,7,\;3,2,\;6,1,\;2,5,\;4,0,\;4,6,\;3,3,\\\\ 3,9,\;3,7,\;4,3,\;2,8,\;4,5,\;4,2,\;2,4,\;2,8,\;5,1,\;3,0,\;1,8,\\\\ 4,0,\;4,2,\;2,2,\;3,7,\;3,7,\;3,5,\;4,0,\;4,2,\;2,4,\;3,1,\;3,8,\\\\ 4,5,\;3,3,\;3,2,\;4,1,\;3,9,\;3,1,\;3,0,\;3,2,\;4,0,\;4,4,\;2,1
In Loco Service (valores lidos da tabela): 5,5,\;5,5,\;3,4,\;4,6,\;5,2,\;5,6,\;4,4,\;4,6,\;6,3,\;6,9,\;6,7,\\\\ 4,2,\;6,4,\;6,1,\;3,0,\;4,9,\;4,4,\;3,9,\;5,4,\;4,3,\;5,7,\;4,1
Pressuposto do problema: X é normal com variância populacional desconhecida (usar t-intervalo para a média).

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais para Drive Thru (a base para o IC). Vou mostrar passo a passo como obter média amostral, variância amostral e desvio-padrão amostral.
  1. Número de observações: n_1=44 (contei 44 valores na tabela).
  2. Soma das observações: \displaystyle \sum x_i = 155,4 (somei os valores lidos da tabela).
  3. Média amostral:
\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum x_i=\frac{155,4}{44}=3,5318\quad(\text{minutos})
(para facilitar a leitura, posso arredondar depois; guardo mais casas nas contas).
  1. Soma dos quadrados: \displaystyle \sum x_i^2 = 585,30 (calculei somando cada x_i^2).
  2. Variância amostral (estimador não viesado):
s_1^2=\frac{\sum x_i^2 - n_1\bar{x}_1^2}{n_1-1}
Substituindo:
s_1^2=\frac{585,30 - 44\cdot(3,5318)^2}{43}\approx 0,8476
  1. Desvio-padrão amostral:
s_1=\sqrt{s_1^2}\approx 0,9207\\ (\text{minutos})
Comentários práticos sobre essas fórmulas: \bar{x}_1 é a média simples; \sum x_i^2 ajuda a calcular a variabilidade sem subtrair cada termo individualmente; dividir por n_1-1 corrige o viés na estimativa da variância.

Passo 3

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média do Drive Thru.
  1. Fórmula do intervalo quando \sigma é desconhecida (distribuição t):
\text{IC}_{1-\alpha}:\quad \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  1. No nosso caso, nível 95\%\Rightarrow \alpha=0,05. Para n_1-1=43 graus de liberdade, usando tabela de t (ou calculadora), obtemos
t_{0,975,\;43}\approx 2,0167.
  1. Erro padrão da média (SE):
\text{SE}_1=\frac{s_1}{\sqrt{n_1}}=\frac{0,9207}{\sqrt{44}}=\frac{0,9207}{6,6333}\approx 0,1388.
  1. Margem de erro:
\text{ME}_1=t_{0,975,43}\cdot\text{SE}_1\approx 2,0167\cdot 0,1388\approx 0,2799.
  1. Intervalo:
\text{IC}_{95\%}^{\text{Drive}}=\big(\bar{x}_1-\text{ME}_1,\\ \bar{x}_1+\text{ME}_1\big) =(3,5318-0,2799,\\\ 3,5318+0,2799) \approx (3,2519,\\\ 3,8117).
Interpretação (curta): com 95\% de confiança, o tempo médio de preparo no Drive Thru está entre cerca de 3,252 e 3,812 minutos.

Passo 4

Calcular as estatísticas amostrais para In Loco (passo a passo).
  1. Número de observações: n_2=22.
  2. Soma das observações: \displaystyle \sum y_i = 111,1 (somei os valores da tabela).
  3. Média amostral:
\bar{y}=\frac{111,1}{22}=5,05\\ (\text{minutos}).
  1. Soma dos quadrados: \displaystyle \sum y_i^2 = 584,67.
  2. Variância amostral:
s_2^2=\frac{584,67 - 22\cdot(5,05)^2}{21}\approx 1,1245.
  1. Desvio-padrão amostral:
s_2=\sqrt{1,1245}\approx 1,0604\\ (\text{minutos}).

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média In Loco.
  1. Fórmula (mesma do passo anterior):
\text{IC}_{95\%}:\\ \bar{y}\pm t_{0,975,\;n_2-1}\cdot\frac{s_2}{\sqrt{n_2}}.
  1. Graus de liberdade: n_2-1=21. Da tabela,
t_{0,975,\;21}\approx 2,080.
  1. Erro padrão:
\text{SE}_2=\frac{s_2}{\sqrt{n_2}}=\frac{1,0604}{\sqrt{22}}=\frac{1,0604}{4,6904}\approx 0,2261.
  1. Margem de erro:
\text{ME}_2=t_{0,975,21}\cdot\text{SE}_2\approx 2,080\cdot 0,2261\approx 0,4703.
  1. Intervalo:
\text{IC}_{95\%}^{\text{In Loco}}=(5,05-0,4703,\\\ 5,05+0,4703)\approx(4,5797,\\\ 5,5203).
Interpretação: com 95\% de confiança, o tempo médio In Loco está entre aproximadamente 4,580 e 5,520 minutos.

Passo 6

Comentários comparativos sobre os intervalos (resposta ao item c).
  1. Os intervalos obtidos foram:
\text{Drive: }(3,2519,\\\ 3,8117),\qquad \text{In Loco: }(4,5797,\\\ 5,5203).
  1. Observações:
  • Os intervalos não se sobrepõem; o intervalo do In Loco está totalmente à direita (valores maiores) do intervalo do Drive Thru. Isso indica que, com nível de confiança 95\%, o tempo médio In Loco é substancialmente maior que o tempo médio no Drive Thru — ou seja, parece haver diferença prática e estatística entre as médias.
  • O comprimento do IC do In Loco é maior ( \approx 0,9406) do que o do Drive ( \approx 0,5598), o que reflete maior variabilidade amostral e menor tamanho amostral no In Loco ( n_2=22 vs n_1=44 ) — logo a estimativa In Loco é menos precisa.
  • Conclusão prática: se a empresa quer afirmar qual sistema é mais rápido, os dados atuais já sugerem que o Drive Thru é mais rápido; porém para quantificar com mais precisão a diferença, especialmente em In Loco, seria útil aumentar a amostra In Loco.

Passo 7

Como determinar quantos pedidos são necessários para um erro de estimativa e (regra geral usada nos itens d,e,f) — explicação didática.
  1. Fórmula de tamanho de amostra para média com variância desconhecida: quando queremos que o erro máximo (metade do comprimento do IC) seja \le e ao nível de confiança 1-\alpha, usamos, aproximando por z (método padrão quando usamos uma estimativa prévia de \sigma):
n \approx \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma_{\text{est}}}{e}\right)^2.
Aqui:
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96);
  • \sigma_{\text{est}} é uma estimativa do desvio-padrão populacional (usamos s da amostra piloto);
  • arredondamos n para cima (pois precisamos de pelo menos esse inteiro).
  1. Por que usei z e não t? Porque a fórmula exata com t requer conhecer n (pois o t depende de n), então em prática usa-se z e uma estimativa de \sigma (ou itera-se). Essa é a abordagem padrão e razoável quando se tem uma estimativa prévia do desvio-padrão (nossas amostras atuais fornecem s_1 e s_2).
  2. Usarei z_{0,975}=1,96, e para \sigma_{\text{est}} usarei s_1\approx 0,9207 (Drive) e s_2\approx 1,0604 (In Loco). Vou calcular para cada erro pedido e comparar com os tamanhos amostrais atuais.

Passo 8

Cálculos para e=0,25 (item d).
Fórmula:
n=\left(\frac{1,96\cdot s}{e}\right)^2.
Para Drive ( s_1=0,9207):
n_1=\left(\frac{1,96\cdot 0,9207}{0,25}\right)^2 =\left(\frac{1,8046}{0,25}\right)^2=(7,2184)^2\approx 52,12\Rightarrow n_1=53\\ (\text{arredondando para cima}).
Comparação: amostra atual n_1=44 não é suficiente (precisamos de 53).
Para In Loco ( s_2=1,0604):
n_2=\left(\frac{1,96\cdot 1,0604}{0,25}\right)^2 =\left(\frac{2,0784}{0,25}\right)^2=(8,3136)^2\approx 69,12\Rightarrow n_2=70.
Comparação: amostra atual n_2=22 é bem menor que 70, portanto insuficiente.

Passo 9

Cálculos para e=0,10 (item e).
Para Drive:
n_1=\left(\frac{1,96\cdot 0,9207}{0,10}\right)^2 =\left(\frac{1,8046}{0,10}\right)^2=(18,046)^2\approx 325,66\Rightarrow n_1=326.
Comparação: n_1=44 é muito menor; insuficiente.
Para In Loco:
n_2=\left(\frac{1,96\cdot 1,0604}{0,10}\right)^2 =\left(\frac{2,0784}{0,10}\right)^2=(20,784)^2\approx 431,98\Rightarrow n_2=432.
Comparação: n_2=22 é muito menor; insuficiente.

Passo 10

Cálculos para e=0,50 (item f).
Para Drive:
n_1=\left(\frac{1,96\cdot 0,9207}{0,50}\right)^2 =\left(\frac{1,8046}{0,50}\right)^2=(3,6092)^2\approx 13,03\Rightarrow n_1=14.
Comparação: amostra atual n_1=44 é maior que 14, portanto suficiente (tem folga).
Para In Loco:
n_2=\left(\frac{1,96\cdot 1,0604}{0,50}\right)^2 =\left(\frac{2,0784}{0,50}\right)^2=(4,1568)^2\approx 17,28\Rightarrow n_2=18.
Comparação: amostra atual n_2=22 é maior que 18, portanto suficiente.

Passo 11

Resumo interpretativo final e dicas rápidas (motivação):
  • Os ICs mostram que In Loco demora mais em média que Drive Thru; a diferença é clara porque os intervalos não se sobrepõem.
  • Se você quer precisão pequena (erro e pequeno como 0,10 minuto), vai precisar de muitas observações (centenas). Para erros moderados ( 0,25) precisa-se de amostras maiores do que as atuais; para erro grande ( 0,50) as amostras atuais são suficientes.
  • Método prático na prova: calcule média e s da amostra; use t-quantil para IC; para planejar n use fórmula com z e o s piloto, arredonde para cima.

Resposta

a) \text{IC}_{95\%}^{\text{Drive}} \approx (3,2519,\;3,8117) minutos.
b) \text{IC}_{95\%}^{\text{In Loco}} \approx (4,5797,\;5,5203) minutos.
c) Os intervalos não se sobrepõem; com 95\% de confiança a média In Loco é maior que a média Drive Thru. O IC do In Loco é mais largo (menor precisão) porque tem maior variabilidade e menor n.
d) Para e=0,25: n_{\text{Drive}}=53 (amostra atual 44 insuficiente); n_{\text{In Loco}}=70 (amostra atual 22 insuficiente).
e) Para e=0,10: n_{\text{Drive}}=326 (amostra atual 44 insuficiente); n_{\text{In Loco}}=432 (amostra atual 22 insuficiente).
f) Para e=0,50: n_{\text{Drive}}=14 (amostra atual 44 suficiente); n_{\text{In Loco}}=18 (amostra atual 22 suficiente).

Exercícios relacionados