Questão 2. Aplicações em empresas alimentícias: Uma empresa do ramo de Fast Food deseja estimar o tempo médio
de preparo do Burguer King Size (em minutos) segundo o sistema de Drive Thru Service e também segundo o sistema In Loco Service. Para isso, considerou-se uma amostra de pedidos de cada serviço e os resultados encontram-se abaixo:
Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - Drive Thru Service.
4,1
4,1
1,2
2,5
3,7
3,2
6,1
2,5
4,0
4,6
3,3
3,9
3,7
4,3
2,8
4,5
4,2
2,4
2,8
5,1
3,0
1,8
4,0
4,2
2,2
3,7
3,7
3,5
4,0
4,2
2,4
3,1
3,8
4,5
3,3
3,2
4,1
3,9
3,1
3,0
3,2
4,0
4,4
2,1
Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - In Loco Service.
5,5
5,5
3,4
4,6
5,2
5,6
4,4
4,6
6,3
6,9
6,7
4,2
6,4
6,1
3,0
4,9
4,4
3,9
5,4
4,3
5,7
4,1
Assumindo que o tempo
de preparo do Burguer King Size (em minutos) segue o modelo normal com variância populacional
desconhecida, responda os itens a seguir.
Item a. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo de confiança IC(
) para o tempo médio
de preparo do Burguer King Size pelo sistema Drive Thru Service.
Item b. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo de confiança IC(
) para o tempo médio
de preparo do Burguer King Size pelo sistema In Loco Service.
Item c. (1,0 ponto) Faça comentários pertinentes sobre a conclusão que podemos chegar acerca dos intervalos obtidos nos itens anteriores.
Item d. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveriamos considerar para estimar o tempo médio
de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de
minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item e. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveríamos considerar para estimar o tempo médio
de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de
minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item f. (1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantos pedidos deveríamos considerar para estimar o tempo médio
de preparo do Burguer King Size de cada sistema, considerando um erro de estimativa de
minuto? As amostras prévias são suficientes? Comente.
| Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - Drive Thru Service. | ||||||||||
| 4,1 | 4,1 | 1,2 | 2,5 | 3,7 | 3,2 | 6,1 | 2,5 | 4,0 | 4,6 | 3,3 |
| 3,9 | 3,7 | 4,3 | 2,8 | 4,5 | 4,2 | 2,4 | 2,8 | 5,1 | 3,0 | 1,8 |
| 4,0 | 4,2 | 2,2 | 3,7 | 3,7 | 3,5 | 4,0 | 4,2 | 2,4 | 3,1 | 3,8 |
| 4,5 | 3,3 | 3,2 | 4,1 | 3,9 | 3,1 | 3,0 | 3,2 | 4,0 | 4,4 | 2,1 |
| Tempo de preparo do Burguer King Size (em minutos) - In Loco Service. | ||||||||||
| 5,5 | 5,5 | 3,4 | 4,6 | 5,2 | 5,6 | 4,4 | 4,6 | 6,3 | 6,9 | 6,7 |
| 4,2 | 6,4 | 6,1 | 3,0 | 4,9 | 4,4 | 3,9 | 5,4 | 4,3 | 5,7 | 4,1 |
Passo 1
O enunciado fornece duas amostras de tempos de preparo (em minutos) do mesmo produto em dois sistemas: Drive Thru Service e In Loco Service, e pede: (a) intervalo de confiança de
para a média de cada sistema; (b) interpretar; (c) comparar os intervalos; (d,e,f) calcular tamanhos de amostra necessários para precisões dadas (
,
,
) mantendo o nível de confiança
, e dizer se as amostras atuais são suficientes. Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
Drive Thru Service (valores lidos da tabela):
In Loco Service (valores lidos da tabela):
Pressuposto do problema:
é normal com variância populacional desconhecida (usar
-intervalo para a média).
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais para Drive Thru (a base para o IC). Vou mostrar passo a passo como obter média amostral, variância amostral e desvio-padrão amostral.
- Número de observações:
(contei 44 valores na tabela). - Soma das observações:
(somei os valores lidos da tabela). - Média amostral:
(para facilitar a leitura, posso arredondar depois; guardo mais casas nas contas).
- Soma dos quadrados:
(calculei somando cada ). - Variância amostral (estimador não viesado):
Substituindo:
- Desvio-padrão amostral:
Comentários práticos sobre essas fórmulas:
é a média simples;
ajuda a calcular a variabilidade sem subtrair cada termo individualmente; dividir por
corrige o viés na estimativa da variância.
Passo 3
Construir o intervalo de confiança de
para a média do Drive Thru.
- Fórmula do intervalo quando
é desconhecida (distribuição ):
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade.
- No nosso caso, nível
. Para graus de liberdade, usando tabela de (ou calculadora), obtemos
- Erro padrão da média (SE):
- Margem de erro:
- Intervalo:
Interpretação (curta): com
de confiança, o tempo médio de preparo no Drive Thru está entre cerca de
e
minutos.
Passo 4
Calcular as estatísticas amostrais para In Loco (passo a passo).
- Número de observações:
. - Soma das observações:
(somei os valores da tabela). - Média amostral:
- Soma dos quadrados:
. - Variância amostral:
- Desvio-padrão amostral:
Passo 5
Construir o intervalo de confiança de
para a média In Loco.
- Fórmula (mesma do passo anterior):
- Graus de liberdade:
. Da tabela,
- Erro padrão:
- Margem de erro:
- Intervalo:
Interpretação: com
de confiança, o tempo médio In Loco está entre aproximadamente
e
minutos.
Passo 6
Comentários comparativos sobre os intervalos (resposta ao item c).
- Os intervalos obtidos foram:
- Observações:
- Os intervalos não se sobrepõem; o intervalo do In Loco está totalmente à direita (valores maiores) do intervalo do Drive Thru. Isso indica que, com nível de confiança
, o tempo médio In Loco é substancialmente maior que o tempo médio no Drive Thru — ou seja, parece haver diferença prática e estatística entre as médias. - O comprimento do IC do In Loco é maior (
) do que o do Drive ( ), o que reflete maior variabilidade amostral e menor tamanho amostral no In Loco ( vs ) — logo a estimativa In Loco é menos precisa. - Conclusão prática: se a empresa quer afirmar qual sistema é mais rápido, os dados atuais já sugerem que o Drive Thru é mais rápido; porém para quantificar com mais precisão a diferença, especialmente em In Loco, seria útil aumentar a amostra In Loco.
Passo 7
Como determinar quantos pedidos são necessários para um erro de estimativa
(regra geral usada nos itens d,e,f) — explicação didática.
- Fórmula de tamanho de amostra para média com variância desconhecida: quando queremos que o erro máximo (metade do comprimento do IC) seja
ao nível de confiança , usamos, aproximando por (método padrão quando usamos uma estimativa prévia de ):
Aqui:
-
é o quantil da normal padrão (para , ); -
é uma estimativa do desvio-padrão populacional (usamos da amostra piloto); - arredondamos
para cima (pois precisamos de pelo menos esse inteiro).
-
Por que usei
e não ? Porque a fórmula exata com requer conhecer (pois o depende de ), então em prática usa-se e uma estimativa de (ou itera-se). Essa é a abordagem padrão e razoável quando se tem uma estimativa prévia do desvio-padrão (nossas amostras atuais fornecem e ). -
Usarei
, e para usarei (Drive) e (In Loco). Vou calcular para cada erro pedido e comparar com os tamanhos amostrais atuais.
Passo 8
Cálculos para
(item d).
Fórmula:
Para Drive (
):
Comparação: amostra atual
não é suficiente (precisamos de 53).
Para In Loco (
):
Comparação: amostra atual
é bem menor que 70, portanto insuficiente.
Passo 9
Cálculos para
(item e).
Para Drive:
Comparação:
é muito menor; insuficiente.
Para In Loco:
Comparação:
é muito menor; insuficiente.
Passo 10
Cálculos para
(item f).
Para Drive:
Comparação: amostra atual
é maior que 14, portanto suficiente (tem folga).
Para In Loco:
Comparação: amostra atual
é maior que 18, portanto suficiente.
Passo 11
Resumo interpretativo final e dicas rápidas (motivação):
- Os ICs mostram que In Loco demora mais em média que Drive Thru; a diferença é clara porque os intervalos não se sobrepõem.
- Se você quer precisão pequena (erro
pequeno como minuto), vai precisar de muitas observações (centenas). Para erros moderados ( ) precisa-se de amostras maiores do que as atuais; para erro grande ( ) as amostras atuais são suficientes. - Método prático na prova: calcule média e
da amostra; use -quantil para IC; para planejar use fórmula com e o piloto, arredonde para cima.
Resposta
a)
minutos.
b)
minutos.
c) Os intervalos não se sobrepõem; com
de confiança a média In Loco é maior que a média Drive Thru. O IC do In Loco é mais largo (menor precisão) porque tem maior variabilidade e menor
.
d) Para
:
(amostra atual
insuficiente);
(amostra atual
insuficiente).
e) Para
:
(amostra atual
insuficiente);
(amostra atual
insuficiente).
f) Para
:
(amostra atual
suficiente);
(amostra atual
suficiente).