Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que
têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra ter essa determinada posição política?
Passo 1
O enunciado pede: qual é a probabilidade de que exatamente
indivíduos, numa amostra aleatória de
pessoas, tenham certa posição política quando, na população, a proporção com essa posição é
.\
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Por que modelo usar e qual a fórmula (aula rápida): aqui temos
ensaios (pessoas) com só duas possibilidades por pessoa (tem ou não a posição), a probabilidade de “sucesso” (ter a posição) é constante em cada ensaio (
) e assumimos independência aproximada entre escolhas — portanto o número de pessoas com a posição na amostra segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos em
ensaios é:
Explicando cada símbolo:
-
= número de indivíduos na amostra com a posição; -
= número total de ensaios ( ); -
= número de sucessos que queremos ( ); -
= probabilidade de sucesso em cada ensaio ( ); -
= número de maneiras diferentes de escolher quais ensaios serão sucessos (coeficiente binomial).
O coeficiente binomial é dado por
onde
(fatorial) significa
. Vamos calcular
passo a passo:
Agora simplificamos passo a passo: primeiro o numerador
Denominador
. Então
Passo 3
Calcular as potências
e
(mostrando contas):
Vamos calcular sequencialmente:
Agora
. Calculando sequencialmente:
Multiplicando as duas potências:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula completa:
Multiplicando:
Interpretação rápida: a probabilidade de exatamente
pessoas é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Você pode calcular esse produto com uma calculadora ou seguir os passos manuais que mostrei para entender de onde vem cada número — é sempre isso na prova: coeficiente binomial vezes as potências de
e
.