Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40 \% têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra ter essa determinada posição política?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a probabilidade de que exatamente 6 indivíduos, numa amostra aleatória de 15 pessoas, tenham certa posição política quando, na população, a proporção com essa posição é 40\%.\
Informações relevantes fornecidas:
n=15,\qquad p=40\%=0,4,\qquad k=6.

Passo 2

Por que modelo usar e qual a fórmula (aula rápida): aqui temos n ensaios (pessoas) com só duas possibilidades por pessoa (tem ou não a posição), a probabilidade de “sucesso” (ter a posição) é constante em cada ensaio ( p=0,4) e assumimos independência aproximada entre escolhas — portanto o número de pessoas com a posição na amostra segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k}
Explicando cada símbolo:
  • X = número de indivíduos na amostra com a posição;
  • n = número total de ensaios ( n=15);
  • k = número de sucessos que queremos ( k=6);
  • p = probabilidade de sucesso em cada ensaio ( p=0,4);
  • \binom{n}{k} = número de maneiras diferentes de escolher quais k ensaios serão sucessos (coeficiente binomial).
O coeficiente binomial é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) significa m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1. Vamos calcular \binom{15}{6} passo a passo:
\binom{15}{6}=\frac{15!}{6!\,9!}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos passo a passo: primeiro o numerador
15\cdot14=210,\quad 210\cdot13=2730,\quad 2730\cdot12=32760,
32760\cdot11=360360,\quad 360360\cdot10=3603600.
Denominador 6!=720. Então
\binom{15}{6}=\frac{3603600}{720}=5005.

Passo 3

Calcular as potências p^{k} e (1-p)^{\,n-k} (mostrando contas):
p^{k}=0,4^{6}.
Vamos calcular sequencialmente:
0,4^{2}=0,16,\quad 0,4^{3}=0,064,\quad 0,4^{4}=0,0256,
0,4^{5}=0,01024,\quad 0,4^{6}=0,004096.
Agora (1-p)^{\,n-k}=0,6^{9}. Calculando sequencialmente:
0,6^{2}=0,36,\quad 0,6^{3}=0,216,\quad 0,6^{4}=0,1296,
0,6^{5}=0,07776,\quad 0,6^{6}=0,046656,\quad 0,6^{7}=0,0279936,
0,6^{8}=0,01679616,\quad 0,6^{9}=0,010077696.
Multiplicando as duas potências:
0,4^{6}\times 0,6^{9}=0,004096\times 0,010077696=0,000041278242816.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula completa:
P(X=6)=\binom{15}{6}\,0,4^{6}\,0,6^{9}=5005\times 0,000041278242816.
Multiplicando:
P(X=6)=0,20659760529408\approx 0,2065976053.
Interpretação rápida: a probabilidade de exatamente 6 pessoas é cerca de 0,2066, ou seja, aproximadamente 20,66\%. Você pode calcular esse produto com uma calculadora ou seguir os passos manuais que mostrei para entender de onde vem cada número — é sempre isso na prova: coeficiente binomial vezes as potências de p e 1-p.

Resposta

0,20659760529408

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