A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20 . Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede uma probabilidade específica:
  • Probabilidade de um item ser defeituoso: p=0{,}20.
  • Tamanho da amostra: n=6.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de haver 5 ou mais itens defeituosos na amostra, ou seja, de ocorrer o evento X\ge 5 (onde X é o número de itens defeituosos na amostra)?

Passo 2

Escolhemos um método adequado: vamos modelar o número de itens defeituosos por uma distribuição binomial. Por que isso faz sentido? Porque:
  • Cada item é produzido independentemente (assumimos independência).
  • Cada item tem só duas possibilidades relevantes: defeituoso ou não (sucesso/fracasso).
  • A probabilidade de defeito é constante em cada tentativa: p=0{,}20.
  • Há um número fixo de tentativas: n=6.
    Essas condições combinam exatamente com o modelo binomial, então podemos usar a fórmula binomial para calcular probabilidades de contagem.

Passo 3

Apresentando a fórmula binomial e explicando as variáveis:
A probabilidade de exatamente k sucessos (aqui, k itens defeituosos) em n tentativas é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k tentativas deram sucesso),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • 1-p é a probabilidade de fracasso,
  • n é o número total de tentativas,
  • k é o número de sucessos que queremos.

Passo 4

Aplicando a fórmula para k=5:
Primeiro calculemos o coeficiente binomial
\binom{6}{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{6!}{5!1!}=6.
Agora calculemos as potências:
p^{5}=(0{,}20)^{5}.
Vamos desenvolver passo a passo:
(0{,}20)^2=0{,}04,\quad (0{,}20)^3=0{,}008,\quad (0{,}20)^4=0{,}0016,\quad (0{,}20)^5=0{,}00032.
Também 1-p=0{,}80. Então
P(X=5)=6\cdot(0{,}20)^{5}\cdot(0{,}80)=6\cdot0{,}00032\cdot0{,}80.
Multiplicando:
6\cdot0{,}00032=0{,}00192,
0{,}00192\cdot0{,}80=0{,}001536.
Portanto P(X=5)=0{,}001536.

Passo 5

Agora para k=6:
\binom{6}{6}=1,
e
P(X=6)=1\cdot(0{,}20)^{6}\cdot(0{,}80)^{0}=(0{,}20)^{6}.
Usando o valor anterior (0{,}20)^{5}=0{,}00032, temos
(0{,}20)^{6}=0{,}00032\cdot0{,}20=0{,}000064.
Portanto P(X=6)=0{,}000064.

Passo 6

Somando as duas probabilidades para obter P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6):
P(X\ge 5)=0{,}001536+0{,}000064=0{,}001600.
Em termos percentuais isso é 0{,}16\%. Dá pra ver que é um evento bem raro — faz sentido, porque ter 5 ou 6 defeituosos em apenas 6 com p=0{,}20 é improvável.

Resposta

0{,}0016

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