A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20 . Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação e pede uma probabilidade específica:
- Probabilidade de um item ser defeituoso:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual é a probabilidade de haver 5 ou mais itens defeituosos na amostra, ou seja, de ocorrer o evento
(onde é o número de itens defeituosos na amostra)?
Passo 2
Escolhemos um método adequado: vamos modelar o número de itens defeituosos por uma distribuição binomial. Por que isso faz sentido? Porque:
- Cada item é produzido independentemente (assumimos independência).
- Cada item tem só duas possibilidades relevantes: defeituoso ou não (sucesso/fracasso).
- A probabilidade de defeito é constante em cada tentativa:
. - Há um número fixo de tentativas:
.
Essas condições combinam exatamente com o modelo binomial, então podemos usar a fórmula binomial para calcular probabilidades de contagem.
Passo 3
Apresentando a fórmula binomial e explicando as variáveis:
A probabilidade de exatamente sucessos (aqui,
itens defeituosos) em
tentativas é
A probabilidade de exatamente
Onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais tentativas deram sucesso), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, -
é a probabilidade de fracasso, -
é o número total de tentativas, -
é o número de sucessos que queremos.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
:
Primeiro calculemos o coeficiente binomial
Primeiro calculemos o coeficiente binomial
Agora calculemos as potências:
Vamos desenvolver passo a passo:
Também
. Então
Multiplicando:
Portanto
.
Passo 5
Agora para
:
e
Usando o valor anterior
, temos
Portanto
.
Passo 6
Somando as duas probabilidades para obter
:
Em termos percentuais isso é
. Dá pra ver que é um evento bem raro — faz sentido, porque ter 5 ou 6 defeituosos em apenas 6 com
é improvável.