Estima-se que cerca de 30 \% dos frangos congelados contenham suficiente número de bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Número de frangos comprados: 12.
  • Probabilidade de um frango estar contaminado (sucesso): 30\%, ou seja, p=0,3.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de o consumidor ter mais de 6 frangos contaminados? Ou seja, queremos calcular \Pr(X>6) onde X é o número de frangos contaminados entre os 12.

Passo 2

Modelo probabilístico adequado (explicação didática passo a passo)
  • Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui 12 frangos), cada tentativa tem duas possibilidades (contaminado ou não) e a probabilidade de “sucesso” (contaminado) é a mesma em cada tentativa ( p=0,3), o número X de sucessos segue a distribuição binomial.
  • A fórmula da probabilidade da distribuição binomial é:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número de tentativas (aqui n=12);
  • k é o número de sucessos desejados;
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0,3);
  • \binom{n}{k} (lê-se "combinação de n elementos tomados k a k") conta de quantas maneiras podemos escolher quais k tentativas deram sucesso e é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (por exemplo 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1).

Passo 3

Expressão do que precisamos calcular
  • Queremos \Pr(X>6). Usamos a identidade complementar para facilitar o trabalho:
\Pr(X>6)=1-\Pr(X\le 6).
  • Então vamos calcular \Pr(X\le 6)=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\binom{12}{k} (0,3)^{k}(0,7)^{12-k} e depois subtrair de 1.

Passo 4

Cálculo termo a termo de \Pr(X\le 6) (vou mostrar como calcular cada termo e os valores numéricos)
Para facilitar, já utilizamos potências de 0,7:
0,7^{6}=0,117649,\;0,7^{7}=0,0823543,\;0,7^{8}=0,05764801,\;0,7^{9}=0,040353607,
0,7^{10}=0,0282475249,\;0,7^{11}=0,01977326743,\;0,7^{12}=0,013841287201.
Agora cada termo \Pr(X=k)=\binom{12}{k}(0,3)^{k}(0,7)^{12-k}:
  • Para k=0:
\Pr(X=0)=\binom{12}{0}(0,3)^{0}(0,7)^{12}=1\cdot1\cdot0,7^{12}=0,013841287201.
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=\binom{12}{1}(0,3)^{1}(0,7)^{11}=12\cdot0,3\cdot0,7^{11}=0,071183762750.
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=\binom{12}{2}(0,3)^{2}(0,7)^{10}=66\cdot0,09\cdot0,7^{10}=0,167790297906.
  • Para k=3:
\Pr(X=3)=\binom{12}{3}(0,3)^{3}(0,7)^{9}=220\cdot0,027\cdot0,7^{9}=0,239700425580.
  • Para k=4:
\Pr(X=4)=\binom{12}{4}(0,3)^{4}(0,7)^{8}=495\cdot0,0081\cdot0,7^{8}=0,231050398095.
  • Para k=5:
\Pr(X=5)=\binom{12}{5}(0,3)^{5}(0,7)^{7}=792\cdot0,00243\cdot0,7^{7}=0,158546479608.
  • Para k=6:
\Pr(X=6)=\binom{12}{6}(0,3)^{6}(0,7)^{6}=924\cdot0,000729\cdot0,7^{6}=0,079246971804.
Observação rápida: os valores de \binom{12}{k} usados foram os conhecidos: 1,12,66,220,495,792,924.

Passo 5

Somando os termos para obter \Pr(X\le 6)
Somamos os valores calculados:
\Pr(X\le 6)=0,013841287201+0,071183762750+0,167790297906+0,239700425580
\quad+0,231050398095+0,158546479608+0,079246971804=0,961359622944.

Passo 6

Aplicando a complementaridade para obter \Pr(X>6)
\Pr(X>6)=1-\Pr(X\le 6)=1-0,961359622944=0,038640377056\approx0,03864.
Interpretação final: a probabilidade de que mais de 6 dos 12 frangos estejam contaminados é aproximadamente 0,03864, ou seja, cerca de 3{,}864\%. Força aí — é um evento relativamente raro, porque a média esperada é \mathbb{E}[X]=np=12\cdot0,3=3{,}6, então ter mais de 6 é bem acima da média.

Resposta

0,03864

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