Estima-se que cerca de
dos frangos congelados contenham suficiente número de bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Número de frangos comprados:
. - Probabilidade de um frango estar contaminado (sucesso):
, ou seja, . - Pergunta: qual é a probabilidade de o consumidor ter mais de
frangos contaminados? Ou seja, queremos calcular onde é o número de frangos contaminados entre os .
Passo 2
Modelo probabilístico adequado (explicação didática passo a passo)
-
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui
frangos), cada tentativa tem duas possibilidades (contaminado ou não) e a probabilidade de “sucesso” (contaminado) é a mesma em cada tentativa ( ), o número de sucessos segue a distribuição binomial. -
A fórmula da probabilidade da distribuição binomial é:
onde:
-
é o número de tentativas (aqui ); -
é o número de sucessos desejados; -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ); -
(lê-se "combinação de elementos tomados a ") conta de quantas maneiras podemos escolher quais tentativas deram sucesso e é dada por
onde
é o fatorial de
(por exemplo
).
Passo 3
Expressão do que precisamos calcular
- Queremos
. Usamos a identidade complementar para facilitar o trabalho:
- Então vamos calcular
e depois subtrair de .
Passo 4
Cálculo termo a termo de
(vou mostrar como calcular cada termo e os valores numéricos)
Para facilitar, já utilizamos potências de
:
Agora cada termo
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação rápida: os valores de
usados foram os conhecidos:
.
Passo 5
Somando os termos para obter
Somamos os valores calculados:
Passo 6
Aplicando a complementaridade para obter
Interpretação final: a probabilidade de que mais de
dos
frangos estejam contaminados é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Força aí — é um evento relativamente raro, porque a média esperada é
, então ter mais de
é bem acima da média.