Um processo de fabricação produz uma grande quantidade de artigos onde
dos artigos estão fora das especificações exigidas. Extraída uma amostra de 125 artigos:
(a) Determine a média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações.
(b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de artigos fora das especificações esteja entre
e
?
(a) Determine a média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações.
(b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de artigos fora das especificações esteja entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve estatística, mais especificamente proporções amostrais. A situação é a seguinte: em um processo de fabricação, 12% dos artigos estão fora das especificações. Você tirou uma amostra de 125 artigos e precisa calcular duas coisas:
a) A média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações.
b) A probabilidade de que essa proporção esteja entre 10% e 13%.
Vamos usar a teoria das proporções amostrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A média (
) da proporção amostral é igual à proporção populacional (
), que é 12% ou 0,12.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão (
) da proporção amostral. A fórmula para o desvio padrão da proporção é:
Onde:
-
(proporção populacional) -
(tamanho da amostra)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o desvio padrão da proporção amostral é aproximadamente 0,0291 ou 2,91%.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 10% (0,10) e 13% (0,13).
Primeiro, vamos padronizar esses valores usando a distribuição normal, já que a amostra é grande o suficiente para aplicar o Teorema Central do Limite.
A fórmula para o valor z é:
Onde:
-
é a proporção amostral -
-
Passo 6
Calculando o z para 10%:
E para 13%:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -0,687 e 0,344. Usando a tabela da distribuição normal padrão:
- A probabilidade para
é aproximadamente 0,246. - A probabilidade para
é aproximadamente 0,634.
Para encontrar a probabilidade entre esses dois valores, subtraímos:
Resposta
a) A média da proporção amostral é
(12%) e o desvio padrão é aproximadamente
(2,91%).
b) A probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 10% e 13% é de aproximadamente
.