Um processo de fabricação produz uma grande quantidade de artigos onde 12 % dos artigos estão fora das especificações exigidas. Extraída uma amostra de 125 artigos:
(a) Determine a média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações.
(b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de artigos fora das especificações esteja entre 10 % e 13 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve estatística, mais especificamente proporções amostrais. A situação é a seguinte: em um processo de fabricação, 12% dos artigos estão fora das especificações. Você tirou uma amostra de 125 artigos e precisa calcular duas coisas:
a) A média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações.
b) A probabilidade de que essa proporção esteja entre 10% e 13%.
Vamos usar a teoria das proporções amostrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A média ( mup) da proporção amostral é igual à proporção populacional ( p), que é 12% ou 0,12.
mup = p = 0,12

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( sigmap) da proporção amostral. A fórmula para o desvio padrão da proporção é:
sigmap = raizp(1 - p)n
Onde:
  • p = 0,12 (proporção populacional)
  • n = 125 (tamanho da amostra)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
sigmap = raiz0,12 times (1 - 0,12)125 = raiz0,12 times 0,88125 = raiz0,1056125 approx raiz0,0008448 approx 0,0291
Então, o desvio padrão da proporção amostral é aproximadamente 0,0291 ou 2,91%.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 10% (0,10) e 13% (0,13).
Primeiro, vamos padronizar esses valores usando a distribuição normal, já que a amostra é grande o suficiente para aplicar o Teorema Central do Limite.
A fórmula para o valor z é:
z = p - mupsigmap
Onde:
  • p é a proporção amostral
  • mup = 0,12
  • sigmap = 0,0291

Passo 6

Calculando o z para 10%:
z1 = 0,10 - 0,120,0291 approx -0,020,0291 approx -0,687
E para 13%:
z2 = 0,13 - 0,120,0291 approx 0,010,0291 approx 0,344

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -0,687 e 0,344. Usando a tabela da distribuição normal padrão:
  • A probabilidade para z = -0,687 é aproximadamente 0,246.
  • A probabilidade para z = 0,344 é aproximadamente 0,634.
Para encontrar a probabilidade entre esses dois valores, subtraímos:
0,634 - 0,246 = 0,388

Resposta

a) A média da proporção amostral é 0,12 (12%) e o desvio padrão é aproximadamente 0,0291 (2,91%).
b) A probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 10% e 13% é de aproximadamente 38,8%.

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