Uma amostra aleatória n=400 é extraída de uma população de 50.000 recrutas do exército, em um determinado ano. O peso médio da amostra é de 70 kg ; com um desvio padrão igual a 4 kg . Encontre o intervalo de confiança de 90% para o peso da população de recrutas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma amostra de n=400 recrutas (de uma população total de N=50 000), a média dessa amostra é bar x=70 kg e o desvio-padrão amostral é s=4 kg. A missão é montar um intervalo de confiança de 90 % para a média verdadeira do peso dessa população de recrutas. Isso faz parte de Estatística Inferencial, mais especificamente de “estimação de parâmetro” usando o intervalo de confiança para a média. Vamos precisar de:
  • Teorema do Limite Central (pra assumir normalidade da média amostral)
  • Valor crítico zalpha/2 pra 90 % de confiança
  • Cálculo do erro-padrão sraiz n
  • (Opcional, mas direitinho) Correção para População Finita

Passo 2

Como queremos 90 % de confiança, o nível de significância é alpha=0,10 e alpha/2=0,05. O valor crítico em uma tabela z (onde Phi(zalpha/2)=1-alpha/2=0,95) é
z0,05;=;1,645

Passo 3

Calcular o erro‐padrão (sem FPC):
EP ;=;sraizn =4raiz400 =420 =0,2 kg
Pelo Teorema do Limite Central, mesmo sem saber a distribuição original, a média amostral tende a ser normal quando n é grande.

Passo 4

Como a população é finita (N=50 000), podemos usar a correção de população finita (FPC):
FPC =raizN-nN-1 =raiz50,000-40050,000-1 approx0,996
Então o erro‐padrão corrigido é
EPcorr =0,2times0,996 approx0,1992 kg

Passo 5

Agora a margem de erro é
E = z0,05times EPcorr =1,645times0,1992 approx0,3277 kg
O intervalo de confiança de 90 % para a média fica:
bar x ;pm; E ;to; 70pm0,3277 ;to; [70-0,3277,;70+0,3277]

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para o peso médio da população de recrutas é aproximadamente
[,69,67;kg,;70,33;kg,]

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