Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por:
f(x)= 0 & se x<0 kx & se 0 <= x<12 k(1-x) & se 12 <= x <= 1 0, & se x>1
Qual valor deve ter a constante k?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a variável f(x)= 0, & x<0, k,x, & 0<= x1 tem densidade “triangular” em integral-infty^infty f(x),dx = 1 , com
O conteúdo é “densidade de probabilidade” e a parte que a gente precisa usar é a condição de normalização: toda f.d.p. deve satisfazer
Então vamos achar garantindo essa integral igual a 1.

Passo 2

Montar a equação de normalização:
Como integral0^1 f(x),dx =integral0^1/2 kx,dx ;+;integral1/2^1 k(1-x),dx ;=;1 fora de , basta integrar em 0 a 1, dividindo em duas partes:

Passo 3

Agora calculamos cada integral separadamente:
  1. k8 + k8 = 1 Longrightarrow 2k8 = 1 Longrightarrow k4 = 1 Longrightarrow k = 4
  2. Vamos simplificar o que está dentro:
    • Em :
    • Em :
      Então a diferença é
      Logo
Somando as duas partes e igualando a 1:

Resposta

O valor da constante é .

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