Uma amostra aleatória de 45 computadores de um laboratório foi selecionada e analisada se possuíam algum dano devido a má utilização. Um total de 30 computadores não possuíam dano. Calcule os intervalos de confiança de
e 95% para a proporção de computadores que possuem algum dano devido à má utilização.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede os intervalos de confiança de
e para a proporção de computadores que possuem algum dano devido à má utilização. - Dados fornecidos: tamanho da amostra
. - O enunciado informa que
computadores não possuíam dano. Daí concluímos que o número de computadores com dano é . - Portanto a informação relevante que usaremos é:
e número de casos com dano .
Passo 2
Calcular a proporção amostral
(a estimativa pontual da verdadeira proporção).
- Definição:
, onde é o número de sucessos (aqui: computadores com dano) e é o tamanho da amostra. - Aplicando:
.
Explanação curta:é a fração da amostra que apresenta o atributo de interesse; aqui cerca de dos computadores da amostra têm dano.
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação normal (método clássico de Wald) para construir o intervalo.
- Condição usual:
e . Isso garante que a distribuição binomial esteja bem aproximada por uma normal. - Calcular:
e . - Como
e , a aproximação normal é adequada.
Explicação amigável: basicamente verificamos que há observações suficientes de ambos os resultados (dano e sem dano) para que o teorema do limite central funcione razoavelmente.
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (método de Wald) e explicar cada termo.
- Fórmula geral do intervalo de confiança para proporção:
- Aqui:
-
é a proporção amostral (já calculada). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (para um intervalo de confiança de ). Por exemplo, para de confiança, e . -
é o erro padrão da proporção (desvio-padrão da estimativa).
Explicação intuitiva: o erro padrão mede a variabilidade esperada deentre amostras; multiplicando por obtemos uma “margem” que, somada e subtraída de , dá o intervalo de confiança.
-
Passo 5
Calcular o erro padrão da proporção com números.
- Primeiro calcular
:
- Dividir por
:
- Tirar raiz quadrada para obter o erro padrão:
Comentário prático: esse é o valor que indica quanto
costuma “pular” de amostra para amostra.
Passo 6
Escolher os valores críticos
para
e
e explicar sucintamente por que.
- Para intervalo de
: então . O valor crítico é . - Para intervalo de
: então . O valor crítico é .
Explicação curta: valores devêm da tabela da normal padrão; para nível maior de confiança usamos um maior (intervalo mais largo).
Passo 7
Calcular a margem de erro e os intervalos para
.
- Margem de erro:
- Intervalo de
:
- Limites:
Interpretação curta: com
de confiança, a proporção verdadeira de computadores com dano está entre cerca de
e
.
Passo 8
Calcular a margem de erro e os intervalos para
.
- Margem de erro:
- Intervalo de
:
- Limites:
Interpretação curta: com
de confiança, a proporção verdadeira de computadores com dano está entre cerca de
e
. Note que o intervalo de
é mais largo do que o de
, como esperado.
Passo 9
Checagens finais e observações práticas.
- Ambos os intervalos ficam dentro do intervalo lógico
. - A aproximação normal foi verificada no Passo 3 (condições satisfeitas).
- Se você quiser resultados com mais casas decimais, pode refazer as multiplicações com maior precisão; para provas normalmente basta arredondar para 3 casas decimais nos limites.