Uma amostra aleatória de 45 computadores de um laboratório foi selecionada e analisada se possuíam algum dano devido a má utilização. Um total de 30 computadores não possuíam dano. Calcule os intervalos de confiança de 90 \% e 95% para a proporção de computadores que possuem algum dano devido à má utilização.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede os intervalos de confiança de 90\% e 95\% para a proporção de computadores que possuem algum dano devido à má utilização.
  • Dados fornecidos: tamanho da amostra n=45.
  • O enunciado informa que 30 computadores não possuíam dano. Daí concluímos que o número de computadores com dano é 45-30=15.
  • Portanto a informação relevante que usaremos é: n=45 e número de casos com dano x=15.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p} (a estimativa pontual da verdadeira proporção).
  • Definição: \hat{p}=\dfrac{x}{n}, onde x é o número de sucessos (aqui: computadores com dano) e n é o tamanho da amostra.
  • Aplicando: \hat{p}=\dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}\approx 0,3333.
    Explanação curta: \hat{p} é a fração da amostra que apresenta o atributo de interesse; aqui cerca de 33{,}33\% dos computadores da amostra têm dano.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (método clássico de Wald) para construir o intervalo.
  • Condição usual: n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5. Isso garante que a distribuição binomial esteja bem aproximada por uma normal.
  • Calcular: n\hat{p}=45\cdot\dfrac{1}{3}=15 e n(1-\hat{p})=45\cdot\dfrac{2}{3}=30.
  • Como 15\ge5 e 30\ge5, a aproximação normal é adequada.
    Explicação amigável: basicamente verificamos que há observações suficientes de ambos os resultados (dano e sem dano) para que o teorema do limite central funcione razoavelmente.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (método de Wald) e explicar cada termo.
  • Fórmula geral do intervalo de confiança para proporção:
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
  • Aqui:
    • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada).
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (para um intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\%). Por exemplo, para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{0{,}025}\approx 1{,}96.
    • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção (desvio-padrão da estimativa).
      Explicação intuitiva: o erro padrão mede a variabilidade esperada de \hat{p} entre amostras; multiplicando por z_{\alpha/2} obtemos uma “margem” que, somada e subtraída de \hat{p}, dá o intervalo de confiança.

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção com números.
  • Primeiro calcular \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}.
  • Dividir por n:
\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\dfrac{2/9}{45}=\dfrac{2}{9\cdot 45}=\dfrac{2}{405}\approx 0,00493827.
  • Tirar raiz quadrada para obter o erro padrão:
\text{EP}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{2}{405}}\approx 0,07028.
Comentário prático: esse é o valor que indica quanto \hat{p} costuma “pular” de amostra para amostra.

Passo 6

Escolher os valores críticos z_{\alpha/2} para 90\% e 95\% e explicar sucintamente por que.
  • Para intervalo de 90\%: \alpha=0{,}10 então \alpha/2=0{,}05. O valor crítico é z_{0{,}05}\approx 1{,}645.
  • Para intervalo de 95\%: \alpha=0{,}05 então \alpha/2=0{,}025. O valor crítico é z_{0{,}025}\approx 1{,}96.
    Explicação curta: valores de z vêm da tabela da normal padrão; para nível maior de confiança usamos um z maior (intervalo mais largo).

Passo 7

Calcular a margem de erro e os intervalos para 90\%.
  • Margem de erro:
E_{90}=z_{0{,}05}\cdot\text{EP}\approx 1{,}645\cdot 0{,}07028\approx 0{,}1157.
  • Intervalo de 90\%:
\hat{p}\pm E_{90}\Rightarrow 0{,}3333\pm 0{,}1157.
  • Limites:
\text{limite inferior}=0{,}3333-0{,}1157\approx 0{,}2176\approx 0{,}218,
\text{limite superior}=0{,}3333+0{,}1157\approx 0{,}4490\approx 0{,}449.
Interpretação curta: com 90\% de confiança, a proporção verdadeira de computadores com dano está entre cerca de 21{,}8\% e 44{,}9\%.

Passo 8

Calcular a margem de erro e os intervalos para 95\%.
  • Margem de erro:
E_{95}=z_{0{,}025}\cdot\text{EP}\approx 1{,}96\cdot 0{,}07028\approx 0{,}1377.
  • Intervalo de 95\%:
\hat{p}\pm E_{95}\Rightarrow 0{,}3333\pm 0{,}1377.
  • Limites:
\text{limite inferior}=0{,}3333-0{,}1377\approx 0{,}1956\approx 0{,}196,
\text{limite superior}=0{,}3333+0{,}1377\approx 0{,}4710\approx 0{,}471.
Interpretação curta: com 95\% de confiança, a proporção verdadeira de computadores com dano está entre cerca de 19{,}6\% e 47{,}1\%. Note que o intervalo de 95\% é mais largo do que o de 90\%, como esperado.

Passo 9

Checagens finais e observações práticas.
  • Ambos os intervalos ficam dentro do intervalo lógico [0,1].
  • A aproximação normal foi verificada no Passo 3 (condições satisfeitas).
  • Se você quiser resultados com mais casas decimais, pode refazer as multiplicações com maior precisão; para provas normalmente basta arredondar para 3 casas decimais nos limites.

Resposta

90\%: \left(0,218;\;0,449\right)
95\%: \left(0,196;\;0,471\right)

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