Um Engenheiro está analisando o tempo de espera de pacientes numa Unidade de Pronto Atendimento (UPA). Foram realizadas 16 tomadas de tempo, cuja média é de 20 minutos e desvio-padrão de 4 minutos. Qual o intervalo para 98 \% de confiança? t_{0,01 ; 15}=2,602 \quad t_{0,10 ; 15}=1,341

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança de 98\% para a média do tempo de espera. Dados fornecidos:
n=16,\quad \bar{x}=20,\quad s=4.
Também foram fornecidos valores da t de Student:
t_{0,01;15}=2,602\quad\text{e}\quad t_{0,10;15}=1,341.
A pergunta é: qual o intervalo de confiança de 98\% para a média populacional do tempo de espera?

Passo 2

Por que usamos a distribuição t e não a normal? Quando o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido (aqui só temos s), e o tamanho da amostra é pequeno ( n<30 costuma ser considerado pequeno), usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade para construir o intervalo. Neste caso os graus de liberdade são
\text{gl}=n-1=15.
O enunciado já nos deu o valor crítico adequado para \alpha/2=0,01: t_{0,01;15}=2,602. Esse é o número que multiplica o erro padrão para formar a margem de erro.

Passo 3

A fórmula do intervalo de confiança para a média quando \sigma é desconhecido é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=20);
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t para o nível de confiança desejado (aqui t_{0,01;15}=2,602);
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=4);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=16);
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (SE), que mede a variabilidade da média amostral.

Passo 4

Calcule o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{16}=4,
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\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4}{4}=1.
Interpretação rápida: em média, a média amostral varia cerca de 1 minuto da média populacional devido à variação amostral.

Passo 5

Calcule a margem de erro usando o t crítico:
\text{margem}=t_{0,01;15}\cdot\text{SE}=2,602\cdot 1=2,602.

Passo 6

Agora compute os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=20-2,602=17,398,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=20+2,602=22,602.
Arredondando para duas casas decimais daria \;17,40 e \;22,60, mas mantenho os valores calculados: 17,398 e 22,602.

Passo 7

Interpretação prática (rápida e motivadora): com 98\% de confiança, podemos dizer que o verdadeiro tempo médio de espera na UPA está entre aproximadamente 17,40 e 22,60 minutos. Isso significa que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes e construíssemos muitos intervalos do mesmo tipo, cerca de 98\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Força aí — a ideia é sempre aplicar essa mesma receita na prova: identificar n,\bar{x},s, escolher t adequado e calcular SE e margem.

Resposta

[17,398;\;22,602]

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