Uma fazenda tem 5000 pés de café, sabe-se que foi medido a altura de 2 \% dessas plantas, e foi encontrada uma altura média de 300 cm . Sabendo que o desvio padrão da altura destes pés de café são de 20 centímetros (\sigma=20 \mathrm{~cm}), obtenha intervalos de confiança de 90 \% e de 95 \% para a altura média destes pés de café. Considere Z_{0,025}=1,96, Z_{0,05}=1,64.

Passo 1

O enunciado pede intervalos de confiança para a altura média dos 5000 pés de café. As informações fornecidas são:
N=5000
\text{amostra medida }=2\%\\ \text{da população}çã
\bar{x}=300\\ \text{cm (altura média amostral)}é
\sigma=20\\ \text{cm (desvio padrão populacional conhecido)}ã
Foram dados os valores críticos:
Z_{0,05}=1,64\quad\text{(para nível de confiança }90\%\text{)}íç
Z_{0,025}=1,96\quad\text{(para nível de confiança }95\%\text{)}íç
As perguntas são: obter o intervalo de confiança de 90\% para a média e o intervalo de confiança de 95\% para a média.

Passo 2

Calcular o tamanho da amostra n a partir de 2\% de 5000. Multiplicamos:
n = 0{,}02 \times 5000 = 100.
Portanto a amostra tem n=100 observações. É importante ter n porque a fórmula do erro padrão depende de n.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (quando \sigma é conhecida e a média amostral é aproximadamente normal):
\text{IC}_{(1-\alpha)} : \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo de forma bem didática:
  • \bar{x} é a média observada na amostra (aqui \bar{x}=300 cm).
  • \sigma é o desvio padrão da população (aqui \sigma=20 cm). Como \sigma é conhecido, usamos a distribuição normal Z.
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 de probabilidade em cada cauda. Para níveis de confiança dados, utilizamos os Z fornecidos no enunciado.
Breve justificativa do uso desta fórmula: a média amostral \bar{X} tem aproximadamente distribuição normal com média verdadeira \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n} (pelo Teorema Central do Limite, e aqui n=100 já é razoavelmente grande). Logo podemos construir o intervalo usando Z.

Passo 4

Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}}.ã
Como \sqrt{100}=10, temos
\frac{20}{10}=2\\ \text{cm}.
Então o desvio padrão da distribuição de \bar{X} é 2 cm. Isso significa que, em média, \bar{X} varia cerca de 2 cm ao redor da verdadeira média.

Passo 5

Calcular a margem de erro para o intervalo de confiança de 90\%. Usamos z_{0,05}=1{,}64 (dado).
E_{90} = z_{0,05}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}64 \times 2 = 3{,}28\\ \text{cm}.
Mostrei a multiplicação passo a passo: 1{,}64\times2=3{,}28.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança de 90\%. Aplicando \bar{x}\pm E_{90}:
\text{limite inferior}_{90} = 300 - 3{,}28 = 296{,}72\\ \text{cm},
\text{limite superior}_{90} = 300 + 3{,}28 = 303{,}28\\ \text{cm}.
Portanto o intervalo de 90\% é (296{,}72,\\\ 303{,}28) cm.

Passo 7

Calcular a margem de erro para o intervalo de confiança de 95\%. Usamos z_{0,025}=1{,}96 (dado).
E_{95} = z_{0,025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}96 \times 2 = 3{,}92\\ \text{cm}.
Novamente a multiplicação: 1{,}96\times2=3{,}92.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança de 95\%. Aplicando \bar{x}\pm E_{95}:
\text{limite inferior}_{95} = 300 - 3{,}92 = 296{,}08\\ \text{cm},
\text{limite superior}_{95} = 300 + 3{,}92 = 303{,}92\\ \text{cm}.
Portanto o intervalo de 95\% é (296{,}08,\\\ 303{,}92) cm.

Passo 9

Comentário sobre correção por população finita (FPC). Quando a amostra é retirada sem reposição de uma população finita, pode-se multiplicar o erro padrão por
\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.
Aqui
\sqrt{\frac{5000-100}{5000-1}}=\sqrt{\frac{4900}{4999}}\approx0{,}99006,
o que reduziria ligeiramente as margens de erro (multiplicando 3{,}28 e 3{,}92 por 0{,}99006), dando margens aproximadas 3{,}25 e 3{,}88 respectivamente — diferenças muito pequenas. Por isso, e porque a amostra é só 2\% da população, usar ou não a correção finita pouco altera os intervalos; os resultados acima (sem FPC) são adequados e mais comumente apresentados.

Passo 10

Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, com base na amostra de 100 pés, estamos 90\% confiantes de que a verdadeira média de altura está entre 296{,}72 cm e 303{,}28 cm, e estamos 95\% confiantes de que está entre 296{,}08 cm e 303{,}92 cm. Ótimo trabalho por chegar até aqui — esses cálculos são diretos quando a gente organiza os passos!

Resposta

Intervalo de confiança 90\%: (296{,}72,\\\ 303{,}28) cm
Intervalo de confiança 95\%: (296{,}08,\\\ 303{,}92) cm

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