Uma fazenda tem 5000 pés de café, sabe-se que foi medido a altura de
dessas plantas, e foi encontrada uma altura média de 300 cm . Sabendo que o desvio padrão da altura destes pés de café são de 20 centímetros
, obtenha intervalos de confiança de
e de
para a altura média destes pés de café. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede intervalos de confiança para a altura média dos
pés de café. As informações fornecidas são:
Foram dados os valores críticos:
As perguntas são: obter o intervalo de confiança de
para a média e o intervalo de confiança de
para a média.
Passo 2
Calcular o tamanho da amostra
a partir de
de
. Multiplicamos:
Portanto a amostra tem
observações. É importante ter
porque a fórmula do erro padrão depende de
.
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (quando
é conhecida e a média amostral é aproximadamente normal):
Explicando cada símbolo de forma bem didática:
-
é a média observada na amostra (aqui cm). -
é o desvio padrão da população (aqui cm). Como é conhecido, usamos a distribuição normal . -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa de probabilidade em cada cauda. Para níveis de confiança dados, utilizamos os fornecidos no enunciado.
Breve justificativa do uso desta fórmula: a média amostral
tem aproximadamente distribuição normal com média verdadeira
e desvio padrão
(pelo Teorema Central do Limite, e aqui
já é razoavelmente grande). Logo podemos construir o intervalo usando
.
Passo 4
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
Como
, temos
Então o desvio padrão da distribuição de
é
cm. Isso significa que, em média,
varia cerca de
cm ao redor da verdadeira média.
Passo 5
Calcular a margem de erro para o intervalo de confiança de
. Usamos
(dado).
Mostrei a multiplicação passo a passo:
.
Passo 6
Construir o intervalo de confiança de
. Aplicando
:
Portanto o intervalo de
é
cm.
Passo 7
Calcular a margem de erro para o intervalo de confiança de
. Usamos
(dado).
Novamente a multiplicação:
.
Passo 8
Construir o intervalo de confiança de
. Aplicando
:
Portanto o intervalo de
é
cm.
Passo 9
Comentário sobre correção por população finita (FPC). Quando a amostra é retirada sem reposição de uma população finita, pode-se multiplicar o erro padrão por
Aqui
o que reduziria ligeiramente as margens de erro (multiplicando
e
por
), dando margens aproximadas
e
respectivamente — diferenças muito pequenas. Por isso, e porque a amostra é só
da população, usar ou não a correção finita pouco altera os intervalos; os resultados acima (sem FPC) são adequados e mais comumente apresentados.
Passo 10
Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, com base na amostra de
pés, estamos
confiantes de que a verdadeira média de altura está entre
cm e
cm, e estamos
confiantes de que está entre
cm e
cm. Ótimo trabalho por chegar até aqui — esses cálculos são diretos quando a gente organiza os passos!
Resposta
Intervalo de confiança
:
cm
Intervalo de confiança
:
cm