Uma amostra aleatória de 500 pacotes de parafusos foi selecionada e analisado se possuíam todos os atributos físicos esperados. Um total de 45 destes pacotes não
possuíam as características esperadas. Calcule os intervalos de confiança de 90% e
para a proporção de pacotes não possuem todos os atributos físicos esperados.
possuíam as características esperadas. Calcule os intervalos de confiança de 90% e
Passo 1
O enunciado diz que foi selecionada uma amostra aleatória de
pacotes e que
desses pacotes não possuíam as características esperadas. As perguntas são: calcular os intervalos de confiança de
e de
para a proporção verdadeira de pacotes que não possuem todos os atributos físicos esperados. Dados importantes extraídos do enunciado:
Passo 2
Vamos definir a estimativa de proporção amostral e calcular seu valor. A proporção amostral
é o número de sucessos (aqui “pacotes com problema”) dividido pelo tamanho da amostra:
Explicando:
é nossa melhor estimativa pontual para a proporção verdadeira
na população.
Passo 3
Antes de usar a aproximação normal para o intervalo de confiança, verificamos se a aproximação é razoável. A regra prática é checar se
e
são maiores ou iguais a
:
Como ambas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal (intervalo tipo Wald) sem grandes preocupações.
Passo 4
A fórmula do intervalo de confiança (método clássico) para proporção usando aproximação normal é:
Vou explicar cada termo:
-
é a proporção amostral que acabamos de calcular. -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa de probabilidade em cada cauda. Para nível de confiança : - para
(ou seja ), usamos ; - para
(ou seja ), usamos .
- para
-
é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral). Vou calcular isso em detalhe no próximo passo.
Passo 5
Calculemos o erro padrão (EP) passo a passo:
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão:
Interpretação: este é o desvio padrão da distribuição amostral da proporção — ele mede a variação típica que esperaríamos nas proporções amostrais se repetíssemos o experimento muitas vezes.
Passo 6
Agora calculamos as metades da amplitude (margem de erro) para os dois níveis de confiança:
- Para
:
- Para
:
Explicação curta: multiplicamos o erro padrão pelo quantil
apropriado para “esticarmos”
de modo a obter o intervalo de confiança.
Passo 7
Formamos os intervalos somando e subtraindo a margem de erro de
:
- Intervalo de
:
- Intervalo de
:
Interpretação prática (curta e motivadora): por exemplo, com
de confiança esperamos que a proporção verdadeira de pacotes com problema esteja entre aproximadamente
e
. Fica a dica: em provas, mostre os cheques (verificação das condições), calcule
, EP, escolha
e apresente o intervalo — isso garante pontos.