Uma amostra aleatória de 500 pacotes de parafusos foi selecionada e analisado se possuíam todos os atributos físicos esperados. Um total de 45 destes pacotes não
possuíam as características esperadas. Calcule os intervalos de confiança de 90% e 95 \% para a proporção de pacotes não possuem todos os atributos físicos esperados.

Passo 1

O enunciado diz que foi selecionada uma amostra aleatória de 500 pacotes e que 45 desses pacotes não possuíam as características esperadas. As perguntas são: calcular os intervalos de confiança de 90\% e de 95\% para a proporção verdadeira de pacotes que não possuem todos os atributos físicos esperados. Dados importantes extraídos do enunciado:
n = 500,\qquad x = 45.

Passo 2

Vamos definir a estimativa de proporção amostral e calcular seu valor. A proporção amostral \hat p é o número de sucessos (aqui “pacotes com problema”) dividido pelo tamanho da amostra:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{45}{500} = 0,09.
Explicando: \hat p é nossa melhor estimativa pontual para a proporção verdadeira p na população.

Passo 3

Antes de usar a aproximação normal para o intervalo de confiança, verificamos se a aproximação é razoável. A regra prática é checar se n\hat p e n(1-\hat p) são maiores ou iguais a 5:
n\hat p = 500\cdot 0,09 = 45 \ge 5,\qquad n(1-\hat p)=500\cdot 0,91=455 \ge 5.
Como ambas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal (intervalo tipo Wald) sem grandes preocupações.

Passo 4

A fórmula do intervalo de confiança (método clássico) para proporção usando aproximação normal é:
\text{IC} = \hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Vou explicar cada termo:
  • \hat p é a proporção amostral que acabamos de calcular.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 de probabilidade em cada cauda. Para nível de confiança 1-\alpha:
    • para 90\% (ou seja \alpha=0,10), usamos z_{0,05}\approx 1,645;
    • para 95\% (ou seja \alpha=0,05), usamos z_{0,025}\approx 1,96.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral). Vou calcular isso em detalhe no próximo passo.

Passo 5

Calculemos o erro padrão (EP) passo a passo:
\hat p(1-\hat p) = 0,09\cdot 0,91 = 0,0819.
Dividindo por n:
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n} = \frac{0,0819}{500} = 0,0001638.
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\text{EP} = \sqrt{0,0001638}\approx 0,012795.
Interpretação: este é o desvio padrão da distribuição amostral da proporção — ele mede a variação típica que esperaríamos nas proporções amostrais se repetíssemos o experimento muitas vezes.

Passo 6

Agora calculamos as metades da amplitude (margem de erro) para os dois níveis de confiança:
  • Para 90\%:
\text{ME}_{90} = 1,645\times 0,012795 \approx 0,02105.
  • Para 95\%:
\text{ME}_{95} = 1,96\times 0,012795 \approx 0,02508.
Explicação curta: multiplicamos o erro padrão pelo quantil z apropriado para “esticarmos” \hat p de modo a obter o intervalo de confiança.

Passo 7

Formamos os intervalos somando e subtraindo a margem de erro de \hat p:
  • Intervalo de 90\%:
\text{limite inferior} = 0,09 - 0,02105 = 0,06895,
\text{limite superior} = 0,09 + 0,02105 = 0,11105.
  • Intervalo de 95\%:
\text{limite inferior} = 0,09 - 0,02508 = 0,06492,
\text{limite superior} = 0,09 + 0,02508 = 0,11508.
Interpretação prática (curta e motivadora): por exemplo, com 95\% de confiança esperamos que a proporção verdadeira de pacotes com problema esteja entre aproximadamente 6,5\% e 11,5\%. Fica a dica: em provas, mostre os cheques (verificação das condições), calcule \hat p, EP, escolha z e apresente o intervalo — isso garante pontos.

Resposta

90\%\\ \text{IC}: (0,06895,\;0,11105)
95\%\\ \text{IC}: (0,06492,\;0,11508)

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