Uma amostra aleatória de 80 notas de uma população com distribuição normal de 5.000 notas apresenta média de 5,5 e desvio padrão de 1,25. Determinar:
o grau de confiança para que a média das notas seja maior que 5,0 e menor que 6,0. (Resposta: (a) IC (
) = (5,23; 5,77); (b)
).
o grau de confiança para que a média das notas seja maior que 5,0 e menor que 6,0. (Resposta: (a) IC (
Passo 1
Então, o exercício diz o seguinte: a gente tem uma amostra de n = 80 notas, tirada de uma população que é normal. Dessas 80 notas, a média deu
e o desvio padrão amostral é
. O que pedem é:
(a) construir o intervalo de confiança de 95 % para a média real ;
(b) descobrir qual é o nível de confiança (ou seja, a probabilidade) de a média real ficar entre 5,0 e 6,0.
(a) construir o intervalo de confiança de 95 % para a média real
(b) descobrir qual é o nível de confiança (ou seja, a probabilidade) de a média real
Isso faz parte de Estatística Inferencial, mais especificamente de estimação por intervalo. Para resolver, a gente vai precisar:
- saber o que é erro padrão da média;
- usar a distribuição normal (tabelas de z);
- aplicar a fórmula de intervalo de confiança para a média.
Passo 2
Calcular o erro padrão da média.
Teoria rápida: como a população é normal e o desvio é estimado por , o “erro padrão” da média é
Teoria rápida: como a população é normal e o desvio é estimado por
Aqui dá
Passo 3
Montar o intervalo de confiança de 95 %.
Teoria rápida: para nível de confiança de 95 % usamos o valor crítico porque 5 % de “cauda” sobra, dividida em 2 (2,5 % de cada lado).
A fórmula do IC é
Teoria rápida: para nível de confiança de 95 % usamos o valor crítico
A fórmula do IC é
Substituindo:
ou seja
Passo 4
Calcular o nível de confiança de o intervalo ir de 5,0 a 6,0.
Teoria rápida: queremos
Teoria rápida: queremos
sabendo que
$$z_1 = \frac{5{,}0 - 5{,}5}{0{,}14} \approx -3{,}58,\quad
z_2 = \frac{6{,}0 - 5{,}5}{0{,}14} \approx +3{,}58.
P(5<\bar X<6) = P(-3{,}58 < Z < 3{,}58)$$
onde
. Pela tabela de z,
, logo
ou seja cerca de
Resposta
(a)
.
(b) O grau de confiança para que fique entre 5,0 e 6,0 é aproximadamente
.
(b) O grau de confiança para que