Uma amostra aleatória de 80 notas de uma população com distribuição normal de 5.000 notas apresenta média de 5,5 e desvio padrão de 1,25. Determinar:
o grau de confiança para que a média das notas seja maior que 5,0 e menor que 6,0. (Resposta: (a) IC ( mu, 95 % ) = (5,23; 5,77); (b) 99,97 % ).

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: a gente tem uma amostra de n = 80 notas, tirada de uma população que é normal. Dessas 80 notas, a média deu bar x = 5,5 e o desvio padrão amostral é s = 1,25. O que pedem é:
(a) construir o intervalo de confiança de 95 % para a média real mu;
(b) descobrir qual é o nível de confiança (ou seja, a probabilidade) de a média real mu ficar entre 5,0 e 6,0.
Isso faz parte de Estatística Inferencial, mais especificamente de estimação por intervalo. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. saber o que é erro padrão da média;
  2. usar a distribuição normal (tabelas de z);
  3. aplicar a fórmula de intervalo de confiança para a média.

Passo 2

Calcular o erro padrão da média.
Teoria rápida: como a população é normal e o desvio é estimado por s, o “erro padrão” da média é
sigmabar X ;=;sraizn
Aqui dá
sigmabar X ;=;1,25raiz80;approx;1,258,944;approx;0,14

Passo 3

Montar o intervalo de confiança de 95 %.
Teoria rápida: para nível de confiança de 95 % usamos o valor crítico z0,025=1,96 porque 5 % de “cauda” sobra, dividida em 2 (2,5 % de cada lado).
A fórmula do IC é
bar x pm zalpha/2,sigmabar X
Substituindo:
5,5 pm 1,96times 0,14 ;approx;5,5 pm 0,27,
ou seja
IC95% = (5,5 - 0,27;;5,5 + 0,27) = (5,23;;5,77)

Passo 4

Calcular o nível de confiança de o intervalo ir de 5,0 a 6,0.
Teoria rápida: queremos
Pl(5,0 < bar X < 6,0r),
sabendo que bar Xsim N(mu,;sigmabar X^2) com mu=5,5 e sigmabar X=0,14. Padronizamos cada limite:
$$z_1 = \frac{5{,}0 - 5{,}5}{0{,}14} \approx -3{,}58,\quad
z_2 = \frac{6{,}0 - 5{,}5}{0{,}14} \approx +3{,}58. z1 = 5,0 - 5,50,14 approx -3,58, z2 = 6,0 - 5,50,14 approx +3,58ãP(5<\bar X<6) = P(-3{,}58 < Z < 3{,}58)$$
onde P(5. Pela tabela de z, Zsim N(0,1), logo
Phi(3,58)approx0,99983
ou seja cerca de P = Phi(3,58) - Phi(-3,58) = 2Phi(3,58) -1 approx 2times0,99983 -1 = 0,99966,.

Resposta

(a) IC95%(mu) = (5,23;;5,77).
(b) O grau de confiança para que mu fique entre 5,0 e 6,0 é aproximadamente 99,97%,.

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