Dada uma população normal com VAR(X)=3, levantou-se uma amostra de 4 elementos, com sumi=1^4 xi=0,8. Construir um IC para a verdadeira média populacional mu ao nível de 1 %. (Resposta: IC (mu, 99 %)=(-2,03 ; 2,43) ).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar um intervalo de confiança de 99 % para a média μ de uma população normal, sabendo que
  • a variância populacional é VAR(X)=3 (logo σ²=3),
  • a amostra tem n=4 observações e a soma delas é ∑xi=0,8,
  • o nível de confiança é 1 % (ou seja, 99 %).
    Para resolver a gente vai precisar:
  1. Calcular a média amostral .
  2. Usar a fórmula do intervalo de confiança para média quando σ é conhecido:
    .
  3. Encontrar para 99 % de confiança (α=0,01, então α/2=0,005).

Passo 2

Primeiro, calcula a média da amostra:
bar x = 1nsumi=1^4 xi = 0,84 = 0,2

Passo 3

Agora a teoria: quando σ é conhecido e X é normal, a distribuição de
bar x pm zalpha/2,sigmaraiz n
é Normal padrão. Então um IC de nível para μ é

Passo 4

Vamos achar os valores:
  • σ = √3.
  • n = 4 → √n = 2.
  • Para 99 % de confiança, α=0,01, então α/2=0,005 e o valor crítico é z0,005 approx 2,5758
A margem de erro E é
E = z0,005,sigmaraiz n = 2,5758 times raiz32 = 2,5758 times 0,8660 approx 2,233

Passo 5

Agora monta o intervalo:
bar x pm E = 0,2 pm 2,233
que dá
0,2 - 2,233 = -2,033 e 0,2 + 2,233 = 2,433

Resposta

O intervalo de confiança de 99 % para μ é aproximadamente
(,-2,03 ;;; 2,43,)

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