Um novo tipo de fertilizante orgânico está sendo testado por uma cooperativa para ser utilizado na plantação de milho. Vinte produtores foram escolhidos aleatoriamente sendo que dez deles receberam o novo fertilizante e dez receberam o fertilizante já aplicado (controle). As produções, em ton/ha:
Controle 2,63 2,22 2,96 2,59 2,44 2,74 2,59 2,59 2,56 2,52
Novo 4,26 4,22 4,48 4,22 4,26 4,22 4,22 4,22 4,18 4,14
O novo fertilizante será utilizado apenas se o aumento na produção for, na média, de pelo menos 1,5 ton/ha. Construa um IC 95 \% e indique qual decisão a ser tomada.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança de 95 % para a diferença de médias \mu_{\rm novo}-\mu_{\rm cont} em duas amostras independentes de tamanhos n_{\rm cont}=10 e n_{\rm novo}=10, com variâncias desconhecidas. Vamos usar o método de Welch (t de Student com variâncias desiguais) para obter o IC e, em seguida, verificar se o limite inferior é pelo menos 1,5 ton/ha.

Passo 2

Calcular as médias amostrais.
Soma das produções de controle:
\sum x_{\rm cont}=25,84
\bar x_{\rm cont}=\frac{25,84}{10}=2,584
Soma das produções com o novo fertilizante:
\sum x_{\rm novo}=42,42
\bar x_{\rm novo}=\frac{42,42}{10}=4,242
Logo, a diferença das médias é
\bar d=\bar x_{\rm novo}-\bar x_{\rm cont}=4,242-2,584=1,658

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais:
Para o controle, o somatório dos quadrados dos desvios deu 0,32575, então
s_{\rm cont}^2=\frac{0,32575}{10-1}=0,03619
Para o novo, o somatório foi 0,07396, logo
s_{\rm novo}^2=\frac{0,07396}{10-1}=0,008218
O erro-padrão da diferença é
SE=\sqrt{\frac{s_{\rm cont}^2}{10}+\frac{s_{\rm novo}^2}{10}} =\sqrt{0,003619+0,000822} =0,06666

Passo 4

Graus de liberdade aproximados (Welch):
\nu\approx\frac{(0,003619+0,000822)^2} {\displaystyle\frac{(0,003619)^2}{9}+\frac{(0,000822)^2}{9}} \approx12{,}9
O valor crítico para 95 % e \nu\approx13 é
t_{0{,}975;\,13}=2,160

Passo 5

Construindo o IC de 95 %:
\bar d\pm t_{0{,}975;\,13}\times SE =1,658\pm2,160\times0,06666
\Rightarrow IC_{95\%}=(1,514,\;1,802)

Passo 6

Como o limite inferior do IC é 1,514>1,5 ton/ha, há evidência de que o aumento médio é pelo menos 1,5 ton/ha. Portanto, adotar o novo fertilizante.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para \mu_{\rm novo}-\mu_{\rm cont} é aproximadamente (1,514,\;1,802) ton/ha. Como o limite inferior excede 1,5 ton/ha, recomenda-se usar o novo fertilizante.

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