Em uma pesquisa de mercado coletou-se uma amostra aleatória para conhecer a velocidade entregue aos assinantes pelos provedores de internet de uma cidade. Na amostra, com 100 moradores verificouse que a velocidade entregue aos assinantes fica em torno de 10 \% do que é contratado. Construa um intervalo com 95 \% de confiança para a proporção da velocidade entregue por estes provedores. Considerando que o erro cometido na estimação seja no máximo 0,05 , determine o tamanho da amostra com confiança 0,99 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra aleatória de n=100 assinantes em que a proporção observada da velocidade entregue é \hat p=0,10. O conteúdo aqui é estimação de proporção por intervalo de confiança e cálculo do tamanho amostral para um erro máximo dado.

Passo 2

Para construir um intervalo de confiança de 95\% para uma proporção usamos a fórmula
IC = \hat p \pm z_{1-\frac\alpha2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}
onde \alpha=0,05 e o valor crítico é z_{1-\frac\alpha2}=z_{0,975}=1,96.

Passo 3

Calculemos a raiz e a margem de erro:
\sqrt{\frac{0,1\cdot0,9}{100}} = \sqrt{0,0009} = 0,03, \quad E = 1,96 \times 0,03 = 0,0588.
Logo o intervalo de 95\% é
IC_{95\%} = \bigl(0,10 - 0,0588,\;0,10 + 0,0588\bigr) = (0,0412,\;0,1588).

Passo 4

Agora, para que o erro máximo seja E=0,05 com nível de confiança de 99\%, temos \alpha=0,01 e
z_{1-\frac\alpha2} = z_{0,995} = 2,576.
O tamanho mínimo da amostra satisfaz
n \ge \frac{z_{1-\frac\alpha2}^{2}\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^{2}}.

Passo 5

Substituindo os valores:
n \ge \frac{(2,576)^{2} \times 0,1 \times 0,9}{(0,05)^{2}} = \frac{6,635 \times 0,09}{0,0025} = 238,86.
Arredondando para o próximo inteiro, obtemos n=239.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\%: (0,0412,\;0,1588)
Tamanho da amostra para 99\% de confiança e erro máximo 0,05: 239

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