Uma amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal e os seguintes intervalos de confiança construídos usando os mesmos dados
e
.
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de 95% de confiança e o outro é de 90% de confiança. Qual deles é o de 95% de confiança e por quê?
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de 95% de confiança e o outro é de 90% de confiança. Qual deles é o de 95% de confiança e por quê?
Passo 1
O enunciado fornece dois intervalos de confiança construídos com a mesma amostra:
- Intervalo 1:
. - Intervalo 2:
.
O que o exercício pede:
- (a) Determinar o valor da média da amostra.
- (b) Dizer qual dos dois intervalos corresponde ao nível de confiança de
e justificar a escolha.
Informações relevantes dadas:
- Os dois intervalos foram obtidos com os mesmos dados (mesma amostra).
- São intervalos de confiança simétricos (formato padrão
margem). - Não foram fornecidos desvio-padrão nem tamanho da amostra — só os próprios intervalos.
Passo 2
Entender por que o centro do intervalo é a média amostral.
Quando se constrói um intervalo de confiança para a média com procedimento padrão (seja usando ou
), a forma é
Quando se constrói um intervalo de confiança para a média com procedimento padrão (seja usando
Isso faz com que os limites inferior e superior sejam
O ponto médio entre esses limites é
Portanto, o centro (ponto médio) de qualquer intervalo de confiança simétrico é exatamente a média da amostra
.
Passo 3
Calcular a média da amostra a partir do ponto médio de cada intervalo (uso direto da propriedade do passo anterior).
Para o intervalo 1:
Para o intervalo 2:
Ambos confirmam o mesmo resultado (era esperado porque os intervalos vieram da mesma amostra). Logo a média da amostra é
.
Passo 4
Comparar as larguras (comprimentos) dos dois intervalos — isso ajuda a identificar qual tem maior nível de confiança.
Largura do intervalo 1:
Largura do intervalo 2:
O intervalo 1 é mais largo que o intervalo 2 (
).
Passo 5
Explicar por que o intervalo mais largo corresponde a maior nível de confiança.
Na fórmula geral de um intervalo simétrico para a média temos
Na fórmula geral de um intervalo simétrico para a média temos
onde
é o quantil crítico (por exemplo
ou
) que depende do nível de confiança. O valor
aumenta quando se exige maior confiança (por exemplo,
para
e
para
). Como a margem é
vezes uma quantidade positiva, um
maior produz uma margem maior e, portanto, um intervalo mais largo. Assim, entre dois intervalos construídos com os mesmos dados, o mais largo corresponde ao maior nível de confiança.
Passo 6
Aplicando o raciocínio do passo anterior ao nosso caso: o intervalo 1 é mais largo que o intervalo 2, logo o intervalo 1 corresponde ao nível de confiança maior. Como os níveis foram
e
, concluímos que o intervalo 1 é o de
e o intervalo 2 é o de
.
Força aí — já pegou a média e a razão da escolha do intervalo maior. Vai dar certo na prova!
Resposta
a)
b) O intervalo
é o de
de confiança.