Uma amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal e os seguintes intervalos de confiança construídos usando os mesmos dados (38,02 ; 61,98) e (39,95 ; 60,05).
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de 95% de confiança e o outro é de 90% de confiança. Qual deles é o de 95% de confiança e por quê?

Passo 1

O enunciado fornece dois intervalos de confiança construídos com a mesma amostra:
  • Intervalo 1: (38,02 ; 61,98).
  • Intervalo 2: (39,95 ; 60,05).
O que o exercício pede:
  • (a) Determinar o valor da média da amostra.
  • (b) Dizer qual dos dois intervalos corresponde ao nível de confiança de 95\% e justificar a escolha.
Informações relevantes dadas:
  • Os dois intervalos foram obtidos com os mesmos dados (mesma amostra).
  • São intervalos de confiança simétricos (formato padrão \bar{x}\pm margem).
  • Não foram fornecidos desvio-padrão nem tamanho da amostra — só os próprios intervalos.

Passo 2

Entender por que o centro do intervalo é a média amostral.
Quando se constrói um intervalo de confiança para a média com procedimento padrão (seja usando z ou t), a forma é
\bar{x}\pm \text{(margem)}.
Isso faz com que os limites inferior e superior sejam
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem},\qquad \text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}.
O ponto médio entre esses limites é
\frac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2} =\frac{(\bar{x}-\text{margem})+(\bar{x}+\text{margem})}{2} =\frac{2\bar{x}}{2}=\bar{x}.
Portanto, o centro (ponto médio) de qualquer intervalo de confiança simétrico é exatamente a média da amostra \bar{x}.

Passo 3

Calcular a média da amostra a partir do ponto médio de cada intervalo (uso direto da propriedade do passo anterior).
Para o intervalo 1:
\bar{x}=\frac{38,02+61,98}{2}=\frac{100,00}{2}=50.
Para o intervalo 2:
\bar{x}=\frac{39,95+60,05}{2}=\frac{100,00}{2}=50.
Ambos confirmam o mesmo resultado (era esperado porque os intervalos vieram da mesma amostra). Logo a média da amostra é \bar{x}=50.

Passo 4

Comparar as larguras (comprimentos) dos dois intervalos — isso ajuda a identificar qual tem maior nível de confiança.
Largura do intervalo 1:
61,98-38,02=23,96.
Largura do intervalo 2:
60,05-39,95=20,10.
O intervalo 1 é mais largo que o intervalo 2 ( 23,96>20,10).

Passo 5

Explicar por que o intervalo mais largo corresponde a maior nível de confiança.
Na fórmula geral de um intervalo simétrico para a média temos
\bar{x}\pm c_{\alpha/2}\cdot\frac{\text{(estimador de desvio)}}{\sqrt{n}},
onde c_{\alpha/2} é o quantil crítico (por exemplo z_{\alpha/2} ou t_{\alpha/2}) que depende do nível de confiança. O valor c_{\alpha/2} aumenta quando se exige maior confiança (por exemplo, z_{0,025}=1,96 para 95\% e z_{0,05}\approx1,645 para 90\%). Como a margem é c_{\alpha/2} vezes uma quantidade positiva, um c_{\alpha/2} maior produz uma margem maior e, portanto, um intervalo mais largo. Assim, entre dois intervalos construídos com os mesmos dados, o mais largo corresponde ao maior nível de confiança.

Passo 6

Aplicando o raciocínio do passo anterior ao nosso caso: o intervalo 1 é mais largo que o intervalo 2, logo o intervalo 1 corresponde ao nível de confiança maior. Como os níveis foram 95\% e 90\%, concluímos que o intervalo 1 é o de 95\% e o intervalo 2 é o de 90\%.
Força aí — já pegou a média e a razão da escolha do intervalo maior. Vai dar certo na prova!

Resposta

a) \bar{x}=50
b) O intervalo (38,02;61,98) é o de 95\% de confiança.

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