Uma amostra aleatória foi retirada a partir de uma distribuição normal. A saída de um pacote computacional é dada a seguir:
Variável
N
Média
EP da média
DP
Variância
Soma
X
10
0,507
1,605
251,848
a) Determine as grandezas que faltam.
b) Encontre um intervalo de confiança de
para a média da população.
| Variável | N | Média | EP da média | DP | Variância | Soma |
| X | 10 |
|
0,507 | 1,605 |
|
251,848 |
b) Encontre um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar as grandezas que faltam na tabela;
- (b) obter um intervalo de confiança de
para a média da população.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida:
-
-
(erro-padrão da média) -
-
As grandezas faltantes na tabela são a
Média e a Variância. Para construir o intervalo de confiança vou usar a suposição dada no enunciado de que a amostra veio de uma distribuição normal.Passo 2
Calcular a média amostral
. A fórmula é
onde cada símbolo significa:
-
= média amostral; -
= soma dos valores observados; -
= tamanho da amostra.
Substituindo os números que peguei da tabela:
Portanto a média amostral é
.
Passo 3
Calcular a variância amostral
. A variância amostral é o quadrado do desvio-padrão amostral
:
Na tabela foi fornecido o desvio-padrão amostral
(peguei este valor da tabela). Então
Faço a conta detalhada:
(multiplicando como números inteiros e ajustando as casas decimais), logo
Observação didática rápida: também poderíamos ter obtido
a partir do erro-padrão da média usando a relação
Se usar
e
, isso dá
, que é muito próximo de
; a pequena diferença vem de arredondamentos apresentados na tabela. Como a tabela já traz
, usei esse
para calcular
.
Passo 4
Agora vamos construir o intervalo de confiança de
para a média populacional
.
Quando a população é normalmente distribuída e a variância populacional é desconhecida (caso típico), usamos a distribuição
com
graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança de nível
é
onde:
-
= média amostral (já calculada); -
= quantil superior da distribuição com graus de liberdade (para , e usamos ); -
= desvio-padrão amostral; -
= tamanho da amostra.
Aqui
então os graus de liberdade são
. O valor crítico na tabela
para nível
com
graus de liberdade é
(este número é obtido numa tabela
ou calculadora estatística).
Também é conveniente usar o erro-padrão da média já fornecido na tabela:
. Então a margem de erro é
Faço a multiplicação:
Passo 5
Calcular os extremos do intervalo:
Portanto o intervalo de confiança de
para a média populacional é aproximadamente
Um lembrete motivador: isso significa que, com base nessa amostra e nas suposições (normalidade e variância desconhecida), pode-se dizer com
de confiança que a verdadeira média populacional
está entre
e
.
Resposta
a) Média amostral
; Variância amostral
b) Intervalo de confiança de para
:
b) Intervalo de confiança de