Uma amostra aleatória foi retirada a partir de uma distribuição normal. A saída de um pacote computacional é dada a seguir:
Variável N Média EP da média DP Variância Soma
X 10 ? 0,507 1,605 ? 251,848
a) Determine as grandezas que faltam.
b) Encontre um intervalo de confiança de 95 \% para a média da população.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar as grandezas que faltam na tabela;
  • (b) obter um intervalo de confiança de 95\% para a média da população.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida:
  • N=10
  • \text{EP da média} = 0,507é (erro-padrão da média)
  • \text{DP (desvio-padrão amostral)} = 1,605ã
  • \text{Soma} = 251,848
As grandezas faltantes na tabela são a Média e a Variância. Para construir o intervalo de confiança vou usar a suposição dada no enunciado de que a amostra veio de uma distribuição normal.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. A fórmula é
\bar{x}=\frac{\text{Soma}}{N},
onde cada símbolo significa:
  • \bar{x} = média amostral;
  • \text{Soma} = soma dos N valores observados;
  • N = tamanho da amostra.
Substituindo os números que peguei da tabela:
\bar{x}=\frac{251,848}{10}=25,1848.
Portanto a média amostral é \bar{x}=25,1848.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^{2}. A variância amostral é o quadrado do desvio-padrão amostral s:
s^{2}=s\cdot s.
Na tabela foi fornecido o desvio-padrão amostral s=1,605 (peguei este valor da tabela). Então
s^{2}=(1,605)^{2}.
Faço a conta detalhada: 1,605\times 1,605 = 2,576,025 (multiplicando como números inteiros e ajustando as casas decimais), logo
s^{2}=2,576025.
Observação didática rápida: também poderíamos ter obtido s a partir do erro-padrão da média usando a relação
\text{EP}=\frac{s}{\sqrt{N}}\quad\Rightarrow\quad s=\text{EP}\cdot\sqrt{N}.
Se usar \text{EP}=0,507 e \sqrt{10}\approx3,1623, isso dá s\approx0,507\times3,1623\approx1,603, que é muito próximo de 1,605; a pequena diferença vem de arredondamentos apresentados na tabela. Como a tabela já traz s=1,605, usei esse s para calcular s^{2}.

Passo 4

Agora vamos construir o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.
Quando a população é normalmente distribuída e a variância populacional é desconhecida (caso típico), usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} = média amostral (já calculada);
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} = quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade (para 95\%, \alpha=0,05 e usamos t_{0,975,n-1});
  • s = desvio-padrão amostral;
  • n = tamanho da amostra.
Aqui n=10 então os graus de liberdade são n-1=9. O valor crítico na tabela t para nível 95\% com 9 graus de liberdade é
t_{0,975,9}=2,262
(este número é obtido numa tabela t ou calculadora estatística).
Também é conveniente usar o erro-padrão da média já fornecido na tabela: \text{EP}=0,507. Então a margem de erro é
\text{margem}=t_{0,975,9}\cdot\text{EP}=2,262\times 0,507.
Faço a multiplicação:
2,262\times 0,507=1,146834\approx 1,1468.

Passo 5

Calcular os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=25,1848-1,146834=24,037966\approx 24,0380,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=25,1848+1,146834=26,331634\approx 26,3316.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional é aproximadamente
\bigl[24,0380,\;26,3316\bigr].
Um lembrete motivador: isso significa que, com base nessa amostra e nas suposições (normalidade e variância desconhecida), pode-se dizer com 95\% de confiança que a verdadeira média populacional \mu está entre 24,0380 e 26,3316.

Resposta

a) Média amostral \bar{x}=25,1848; Variância amostral s^{2}=2,576025
b) Intervalo de confiança de 95\% para \mu: \bigl[24,0380,\;26,3316\bigr]

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