Sejam
uma amostra aleatória simples de uma população com média
e desvio padrão
. Considere os seguintes estimadores de
:
Quais estimadores são não viciados? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar quais dos três estimadores $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $ são não viciados para estimar a média
de uma população. Estamos trabalhando com amostras aleatórias simples e vamos precisar entender o conceito de estimador não viciado na estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um estimador ser não viciado. Um estimador $ T $ é considerado não viciado se a sua esperança matemática (ou valor esperado) for igual ao parâmetro que queremos estimar. No nosso caso, queremos que $ E[T] = \mu $.
Passo 3
Vamos calcular a esperança de cada estimador.
Para $ T_1 $:
Calculando a esperança:
Então, $ T_1 $ é não viciado.
Para $ T_2 $:
Calculando a esperança:
Então, $ T_2 $ também é não viciado.
Para $ T_3 $:
Calculando a esperança:
Aqui, $ E[T_3] = \frac{5}{7}\mu $, que não é igual a
. Portanto, $ T_3 $ é viciado.
Resposta
Os estimadores $ T_1
T_2 $ são não viciados, pois suas esperanças são iguais a
. Já o estimador $ T_3 $ é viciado, já que sua esperança é
, diferente de
.