Sejam X1, X2, ldots, X7 uma amostra aleatória simples de uma população com média mu e desvio padrão sigma. Considere os seguintes estimadores de mu:
l T1=(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7) / 7 T2=(X2+X3+X4+X5+X6) / 5 T3=(X2+X3+X4+X5+X6) / 7
Quais estimadores são não viciados? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar quais dos três estimadores $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $ são não viciados para estimar a média T1 de uma população. Estamos trabalhando com amostras aleatórias simples e vamos precisar entender o conceito de estimador não viciado na estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um estimador ser não viciado. Um estimador $ T $ é considerado não viciado se a sua esperança matemática (ou valor esperado) for igual ao parâmetro que queremos estimar. No nosso caso, queremos que $ E[T] = \mu $.

Passo 3

Vamos calcular a esperança de cada estimador.
Para $ T_1 $:
T1
Calculando a esperança:
T1 = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X77
Então, $ T_1 $ é não viciado.
Para $ T_2 $:
E[T1] = E[X1] + E[X2] + ldots + E[X7]7 = 7mu7 = mu
Calculando a esperança:
T1
Então, $ T_2 $ também é não viciado.
Para $ T_3 $:
T2
Calculando a esperança:
T2 = X2 + X3 + X4 + X5 + X65
Aqui, $ E[T_3] = \frac{5}{7}\mu $, que não é igual a E[T2] = E[X2] + E[X3] + ldots + E[X6]5 = 5mu5 = mu . Portanto, $ T_3 $ é viciado.

Resposta

Os estimadores $ T_1 T1 T_2 $ são não viciados, pois suas esperanças são iguais a T2 . Já o estimador $ T_3 $ é viciado, já que sua esperança é mu, diferente de T3 .

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