Uma amostra aleatória simples X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{16}, de tamanho 16 , de uma distribuição normal foi observada e indicou as seguintes estatísticas:
\sum_{i=1}^{16} x i=70,4 \quad ; \quad \sum_{i=1}^{16}(x i-\bar{X})^{2}=60
Determine o intervalo com 95 \% de confiança para a média populacional.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória simples de tamanho n=16 de uma distribuição normal, cujas estatísticas são
\sum_{i=1}^{16} x_i = 70,4
e
\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar X)^2 = 60.
Queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu, utilizando o fato de que \sigma é desconhecida e, portanto, a estatística
\displaystyle \frac{\bar X - \mu}{s/\sqrt{n}}
segue a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar X e o desvio padrão amostral s. Primeiro,
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{16}x_i = \frac{70,4}{16} = 4,4.
Em seguida, a variância amostral é
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar X)^2 = \frac{60}{15} = 4,
logo
s = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Determinar o quantil de t de Student com n-1=15 graus de liberdade para um nível de confiança de 95\%. Precisamos de
\displaystyle t_{0,975;15},
que pela tabela vale aproximadamente
t_{0,975;15} = 2,131.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança usando
\bar X \pm t_{0,975;15}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
A margem de erro é
E = 2,131 \times \frac{2}{\sqrt{16}} = 2,131 \times 0,5 = 1,0655.
Portanto, o intervalo de confiança de 95\% para \mu é
\bigl(4,4 - 1,0655,\;4,4 + 1,0655\bigr) = (3,3345,\;5,4655).

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu é aproximadamente
(3,33,\;5,47).

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