Foram feitas 20 medidas do tempo gasto (em minutos) para se resolver um determinado problema matemático, obtendo-se:
13 15 12 14 17 15 16 15 14 16
17 14 16 15 15 13 14 15 16 15
Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto nessa operação, com precisão de 30 segundos e 95 \% de certeza? Caso, negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessária?

Passo 1

O enunciado fornece n=20 tempos (em minutos) e pede para estimar o tempo médio com precisão de 30 segundos (isto é, 0,5 minutos) e nível de confiança de 95\%. Como a variância populacional é desconhecida, vamos usar o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição t.

Passo 2

Calculamos a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 297 \quad\Longrightarrow\quad \bar{x} = \frac{297}{20} = 14,85.
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 4443 \quad\Longrightarrow\quad s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2\Bigr) = \frac{1}{19}\bigl(4443 - 20\cdot14,85^2\bigr) \approx 1,713,
s \approx \sqrt{1,713} \approx 1,309.

Passo 3

O erro máximo (meia-largura) do intervalo de confiança é
E = t_{0{,}975,\,19}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2,093\,\frac{1,309}{\sqrt{20}} \approx 0,613\text{ minutos},
que é maior que 0,5 minutos. Logo, com n=20 não atingimos a precisão desejada.

Passo 4

Para achar o tamanho n mínimo que garanta E\le0,5, usamos a aproximação normal:
n \ge \Bigl(\frac{z_{0{,}975}\,s}{E}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{1,96\cdot1,309}{0,5}\Bigr)^2 \approx 26,33
Arredondando para o próximo inteiro, precisa-se de n=27 medidas no total.

Passo 5

Como já temos 20 medidas, o número adicional necessário é
27 - 20 = 7.

Resposta

Não, os 20 dados não são suficientes. São necessárias mais 7 medidas.

Exercícios relacionados