Uma amostra aleatória simples de tamanho n=150, dada por X1, X2, ldots, Xn, foi retirada de uma população que segue um modelo Bernoulli com valor esperado igual a 0.4. Considerando que S=X1+ldots+Xn é a soma dessas variáveis aleatórias, assinale a opção correta, de acordo com a aproximação proporcionada pelo Teorema Central do Limite (que implica que a soma é aproximadamente normal).
  1. P(S>88) >= P(S<88)
  2. P(S-606>0)=1
  3. P(S<48)=P(S>72)
  4. P(S-606<-2)=0
  5. P(S60<1)=0.25
Qual é a alternativa correta ? square
obs 1: escreva o número da afirmativa, 1,2,3,4 ou 5 - somente uma.
obs 2: é necessário comprovar a escolha - anexar análise na documentação da prova

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=150 de variáveis iid XisimBernoulli(p) com p=0,4. Queremos estudar S=X1+cdots+X150 usando o Teorema Central do Limite, que diz que para n grande a distribuição de S é aproximadamente normal. Vamos precisar de E[S], Var(S) e padronizar para comparar as probabilidades indicadas nas afirmativas.

Passo 2

Como S é soma de 150 Bernoulli (p),
E[S]=np=150cdot0,4=60,
Var(S)=np(1-p)=150cdot0,4cdot0,6=36,
logo o desvio-padrão é sigma=raiz36=6.

Passo 3

Pelo TCL, para n grande
S approx N(60,36),
ou seja, se definirmos
Z=S-606,
então Zapprox N(0,1).

Passo 4

Verificamos a afirmativa 3: ela diz que
P(S<48)=P(S>72)
Padronizando,
P(S<48)=Pl(Z<48-606r) = P(Z<-2),
P(S>72)=Pl(Z>72-606r) = P(Z>2)
Como para a normal padrão P(Z<-2)=P(Z>2), concluímos que a afirmativa 3 é verdadeira.

Resposta

3

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