Num determinado tipo de compressores, D é o diâmetro de um cilindro e d o do pistão. As peças são fabricadas em equipamentos distintos e, assim, ambos os diâmetros são independentes. Admita que D é normal com média de 70.07 mm e o desvio padrão é de 0.25 mm e que d é normal com média de 69.93 mm e desvio padrão de 0.0898 mm .
a. Qual a probabilidade de o pistão não entrar no cilindro? square
b. Admita que a folga máxima deverá ser de 0.17 mm . Qual a probabilidade de haver compressores rejeitados por não cumprirem essa especificação? square
c. Admita agora que as peças são marcadas de acordo com os valores dos seus diâmetros. Nestas condições, a montagem pistão/cilindro permite que em cada compressor os diâmetros das duas peças estejam correlacionados, de tal forma que rho(D, d)= 0.82 (coeficiente de correlação linear). Neste caso, qual será a percentagem de compressores rejeitados por não cumprirem a especificação definida na alínea b.). square

Questão 4

Passo 1

O enunciado trata das seguintes variáveis aleatórias:
D, diâmetro do cilindro, com distribuição normal N(muD,sigmaD^2) onde muD=70,07 mm e sigmaD=0,25 mm;
d, diâmetro do pistão, com distribuição normal N(mud,sigmad^2) onde mud=69,93 mm e sigmad=0,0898 mm.
Nos itens a) e b) assumimos D e d independentes. Vamos definir a variável
X = D - d,
que é também normal com
muX = muD - mud = 70,07 - 69,93 = 0,14, sigmaX = raizsigmaD^2 + sigmad^2 = raiz0,25^2 + 0,0898^2

Passo 2

(item a) Queremos a probabilidade de o pistão não entrar no cilindro, isto é d > D. Isso equivale a
P(d > D) = P(D - d < 0) = P(X < 0)
Calculamos
sigmaX = raiz0,25^2 + 0,0898^2 = raiz0,0625 + 0,00806404 approx 0,2657
Definimos o escore
Z = X - muXsigmaX,
então
P(X<0) = P!l(Z < 0 - 0,140,2657r) = P!l(Z < -0,527r) approx Phi(-0,527) approx 0,298

Passo 3

(item b) A folga F é F = D - d = X. A especificação exige F <= 0,17 mm, logo rejeitamos quando F > 0,17. Assim
P(rejeito) = P(X > 0,17) = 1 - P(X <= 0,17) = 1 - Phi!l(0,17 - 0,140,2657r)
Calculando o escore
0,17 - 0,140,2657 approx 0,113,
temos
P(X > 0,17) approx 1 - Phi(0,113) approx 1 - 0,545 = 0,455

Passo 4

(item c) Agora D e d têm correlação rho=0,82. Ainda definimos X=D-d, mas sua variância muda para
sigmaX^2 = sigmaD^2 + sigmad^2 - 2rho,sigmaD,sigmad = 0,0625 + 0,00806404 - 2cdot0,82cdot0,25cdot0,0898 approx 0,03375,
logo
sigmaX approx raiz0,03375 = 0,1837
Mantém-se muX=0,14. A probabilidade de rejeito continua sendo P(X>0,17), agora com novo sigma:
P(X>0,17) = 1 - Phi!l(0,17 - 0,140,1837r) = 1 - Phi!l(0,1634r) approx 1 - 0,565 = 0,435

Resposta

(a) 0,298 (aprox. 29,8 %)
(b) 0,455 (aprox. 45,5 %)
(c) 0,435 (aprox. 43,5 %)

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