O supermercado Angeloni da Beira Mar fez um levantamento sobre as compras de seus clientes e avaliou o total gasto por seus clientes a cada uma de suas visitas ao supermercado. Foi realizado uma avaliação e um modelo que se ajustou bem aos dados obtidos desses gastos foi o modelo da normal, onde os parâmetros estimados foram, média de R$238 e desvio padrão de R$ 69.
a. Qual a probabilidade de um cliente gastar menos do que 165.6 \square$
bi. Posteriormente foi feita uma classificação dos clientes e se constatou que aqueles que possuíam vínculo ao Clube Angeloni daqueles que não tinham o vínculo. Dessa forma o total gasto pelos clientes a cada visita foi dividido em dois grupos, aqueles com Clube Angeloni (CCA) que eram 67% do total e sem Clube Angeloni (SCA) o restante. Um novo ajuste de modelos foi realizado em cada grupo e para o CCA o modelo uniforme com parâmetros a e b foi escolhido, e para o SCA o modelo normal com média de R$352 e desvio padrão de R$ 117.
Calcule o valor esperado e variância do número de clientes CCA entre os próximos 47 clientes desse supermercado. (obs: considere esses clientes independentes uns dos outros.)
bii. Qual a probabilidade de entre os próximos 30 clientes estarem exatamente 5 clientes com vínculo do Clube Angeloni?
c. Ao abrir o supermercado 21 clientes CCA e 7 clientes SCA entram. Defina a variável gasto total desse grupo de clientes e determine a probabilidade destes em conjunto gastarem um montante igual ou superior a 12788 reais?
(obs: assuma a validade do Teorema Central do Limite)

Questão 3

Passo 1

O enunciado trata de quatro itens sobre modelos probabilísticos em estatística aplicada a gastos de clientes.
Conteúdo e ferramentas necessárias:
  • a. Probabilidade na distribuição normal .
  • bi. Distribuição binomial : valor esperado e variância .
  • bii. Probabilidade exata em .
  • c. Soma de variáveis aleatórias de duas populações (uniforme e normal) e aplicação do Teorema Central do Limite para aproximar essa soma por uma normal.

Passo 2

Item a: seja Xsim N(mu=238,sigma=69). Queremos
P(X<165,6)=Pl(Z<165,6-23869r),
onde Zsim N(0,1). Calculando
z=165,6-23869approx-72,469approx-1,049
Logo
P(X<165,6)=Phi(-1,049)=1-Phi(1,049)approx1-0,8531=0,1469

Passo 3

Item bi: seja o número de clientes CCA nos próximos , com . Então
e

Passo 4

Item bii: para Zsim B(n=30,p=0,67), a probabilidade de exatamente 5 CCA é
P(Z=5)=binom305(0,67)^5(0,33)^25
Numericamente,
P(Z=5)approx1,9times10^-8

Passo 5

Item c: entram 21 clientes CCA e 7 SCA. Defina a gasto total
onde são i.i.d.\ uniformes em e .
Para :
Para :
Como são independentes,
e .
Pelo TCL, . Queremos

Resposta

a)
bi)
bii)
c) Definindo como acima,

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