Um dos elevadores de um grande edifício público transporta, no máximo, 20 pessoas de cada vez. A carga máxima transportada pelo elevador é de 1491 kg . Os utilizadores deste elevador pertencem a um largo estrato de uma população em que se verificou que o peso de uma pessoa é aproximadamente normal com valor esperado 71 kg e desvio padrão 14 kg .
a. Sabendo que estão 15 pessoas no elevador com um peso de 1100 kg e que se espera a entrada de mais 5 pessoas para completar a lotação e iniciar a viagem, determine a probabilidade do peso total destes 20 passageiros exceder a carga máxima.
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b. Qual a probabilidade de nas 20 pessoas que em certo momento viajam no elevador haver pelo menos 3 com peso inferior a 56.12 kg ? square
c. Acha que, face ao tipo de população que utiliza o elevador, a carga máxima indicada é adequada? Explique a sua opinião.

Passo 1

O enunciado trata de um elevador que comporta até 20 pessoas com carga máxima de 1491 kg. Sabe-se que o peso de cada usuário é Xsim N(mu=71,sigma=14).
a) Temos já 15 pessoas pesando juntas 1100 kg e aguardamos mais 5 independentes. Queremos
Pl(peso total dos 20 >1491mid peso dos 15=1100r)
b) Para 20 pessoas independentes, cada uma Xsim N(71,14), queremos
Pl(#X<56.12>=3r)
c) Dar opinião sobre a adequação da carga máxima face à variabilidade dos pesos.

Passo 2

Parte (a). As 5 pessoas que faltam têm pesos X1,dots,X5 i.i.d.\ N(71,14). Então
S5=sumi=1^5 Xisim N(5mu,,5sigma^2)=N(355,980),
e queremos
Pl(1100+S5>1491r) =Pl(S5>1491-1100=391r)

Passo 3

Padronizando
Z=S5-355raiz980, P(S5>391)=1-Phi!l(tfrac391-355raiz980r) =1-Phi(1,15)approx1-0,875=0,125

Passo 4

Parte (b). Seja Y o número de pessoas com peso inferior a 56,12 kg em 20 amostras. Primeiro
p=P(X<56,12)=Phi!l(tfrac56,12-7114r) =Phi(-1,063)approx0,1435
Então YsimBin(20,p) e
P(Y>=3)=1-P(Y<=2) =1-sumk=0^2binom20kp^k(1-p)^20-k

Passo 5

Calculando numericamente
P(Y<=2)approx0,045+0,151+0,241=0,437 Longrightarrow P(Y>=3)approx1-0,437=0,563

Passo 6

Parte (c). Se 20 pessoas têm soma de pesos
S20sim N(20cdot71,,20cdot14^2)=N(1420,3920),
então
P(S20>1491) =1-Phi!l(tfrac1491-1420raiz3920r) =1-Phi(1,13)approx0,13
Isso significa cerca de 1 em cada 8 viagens com risco de exceder a carga. Para um equipamento público, essa probabilidade de sobrecarga (13 %) é alta, indicando que a carga máxima de 1491 kg se mostra pouco adequada, pois muitas vezes o limite será ultrapassado.

Resposta

a) 0,125
b) 0,563
c) A carga máxima é inadequada, pois existe cerca de 13% de chance de sobrecarga com 20 pessoas.

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