Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 de uma densidade normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^{2} desconhecidas foi obtida e mostrou os seguintes resultados:
\bar{x}=25,8 \text { e } \sum_{i=1}^{25}\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}=216
Um intervalo de 99 \% de confiança para \mu será então dado aproximadamente por
a) (24,12 ; 27,48).
b) (23,12 ; 28.48).
c) (23,09 ; 28,51).
d) (23,01 ; 28,59).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória simples de tamanho 25 de uma população normal com média \mu e variância \sigma^{2} desconhecidas. Os dados fornecidos são:
  • n=25.
  • \bar{x}=25,8.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{25}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}=216.
O que o problema pede: construir um intervalo de 99\% de confiança para \mu e indicar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) corresponde ao intervalo aproximado.

Passo 2

Qual método usar e fórmula do intervalo: como a variância é desconhecida e a amostra é relativamente pequena ( n=25), usamos a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=25,8);
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da t-Student tal que a área nas duas caudas somadas é \alpha (para 99\%, \alpha=0,01, logo \alpha/2=0,005);
  • s é o desvio-padrão amostral (a raiz quadrada da variância amostral);
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
Vou calcular passo a passo cada peça.

Passo 3

Calcular a variância e o desvio-padrão amostral s^{2} e s. A variância amostral (não-viesada) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}.
Substituindo os valores:
s^{2}=\frac{216}{25-1}=\frac{216}{24}=9.
Portanto o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}=0,6.

Passo 5

Obter o valor crítico t_{\alpha/2,\,n-1}. Para intervalo 99\% temos \alpha/2=0,005 e graus de liberdade n-1=24. Pelo quadro da t-Student:
t_{0,005,\,24}\approx 2,7969\\ (\text{aproximadamente }2,797).
Breve explicação: esse número significa que a probabilidade de uma t-com 24 graus de liberdade estar acima de 2,7969 é 0,005.

Passo 6

Calcular a margem de erro (meia-amplitude) do intervalo:
\text{margem}=t_{0,005,24}\cdot\text{SE}\approx 2,7969\cdot 0,6\approx 1,67814.

Passo 7

Construir o intervalo centrado em \bar{x}=25,8:
\text{limite inferior}=25,8-1,67814\approx 24,12186\approx 24,12,
\text{limite superior}=25,8+1,67814\approx 27,47814\approx 27,48.
Portanto o intervalo de 99\% de confiança para \mu é aproximadamente (24,12;\;27,48), que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados