Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 de uma densidade normalmente distribuída com média
e variância
desconhecidas foi obtida e mostrou os seguintes resultados:
Um intervalo de
de confiança para
será então dado aproximadamente por
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória simples de tamanho
de uma população normal com média
e variância
desconhecidas. Os dados fornecidos são:
-
. -
. -
.
O que o problema pede: construir um intervalo de
de confiança para
e indicar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) corresponde ao intervalo aproximado.
Passo 2
Qual método usar e fórmula do intervalo: como a variância é desconhecida e a amostra é relativamente pequena (
), usamos a distribuição
de Student com
graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança de nível
para
é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o quantil da -Student tal que a área nas duas caudas somadas é (para , , logo ); -
é o desvio-padrão amostral (a raiz quadrada da variância amostral); -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
Vou calcular passo a passo cada peça.
Passo 3
Calcular a variância e o desvio-padrão amostral
e
. A variância amostral (não-viesada) é
Substituindo os valores:
Portanto o desvio-padrão amostral é
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Passo 5
Obter o valor crítico
. Para intervalo
temos
e graus de liberdade
. Pelo quadro da
-Student:
Breve explicação: esse número significa que a probabilidade de uma
-com 24 graus de liberdade estar acima de
é
.
Passo 6
Calcular a margem de erro (meia-amplitude) do intervalo:
Passo 7
Construir o intervalo centrado em
:
Portanto o intervalo de
de confiança para
é aproximadamente
, que corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)