Uma variável aleatória possui distribuição normal com média igual a 10 e variância igual a 4. Retirando-se dessa população uma amostra de tamanho
, tem-se que a distribuição amostral das médias é uma distribuição:
a) não normal com
e
b) normal com
e
c) normal com
e
d) normal
e
e) não normal com
e
a) não normal com
b) normal com
c) normal com
d) normal
e) não normal com
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede determinar a distribuição amostral das médias:
- População: distribuição normal com média
e variância . - Tamanho da amostra:
. - O que se pede: identificar se a distribuição amostral da média é normal ou não e quais são sua média e seu desvio padrão (ou variância), para comparar com as alternativas (a)–(e).
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Denotando por
a média amostral de observações independentes da população, há uma propriedade fundamental: Aqui: -
é a média da população; -
é a variância da população; -
é a variância da média amostral; - o desvio padrão da média amostral é
.
-
- Por que isso vale (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Se
são i.i.d. normais com média e variância , então a soma também é normal (soma de normais é normal) com - A média amostral é
. Escalar uma variável normal por uma constante mantém a normalidade, e transforma média e variância assim:
- Se
- Portanto
é normal com média e variância .
Passo 3
Aplicando aos números do enunciado:
- A variância populacional é
. Logo o desvio padrão populacional é - A variância da média amostral é
- O desvio padrão da média amostral é
Passo 4
Sobre normalidade: como a população é exatamente normal, a distribuição da média amostral
é exatamente normal para qualquer
. Não precisamos invocar o Teorema Central do Limite porque a hipótese “população normal” já garante normalidade exata da média.
Passo 5
Comparando com as alternativas:
- Procuramos "normal com
e desvio padrão ". - A alternativa (b) diz exatamente: normal com
e . Isso coincide com o que calculamos. - As outras alternativas estão erradas porque ou afirmam “não normal” (incorreto aqui), ou trocam média e variância por valores diferentes (
ou variâncias diferentes).
Resposta
b) normal com
e