Uma variável aleatória possui distribuição normal com média igual a 10 e variância igual a 4. Retirando-se dessa população uma amostra de tamanho n=100, tem-se que a distribuição amostral das médias é uma distribuição:
a) não normal com \mu=10 e \sigma=1 / 5
b) normal com \mu=10 e \sigma=1 / 5
c) normal com \mu=100 e \sigma 2=4
d) normal \operatorname{com} \mu=10 e \sigma 2=2
e) não normal com \mu=100 e \sigma 2=4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede determinar a distribuição amostral das médias:
  • População: distribuição normal com média \mu=10 e variância \sigma^{2}=4.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • O que se pede: identificar se a distribuição amostral da média é normal ou não e quais são sua média e seu desvio padrão (ou variância), para comparar com as alternativas (a)–(e).

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Denotando por \bar{X} a média amostral de n observações independentes da população, há uma propriedade fundamental: \text{se a população é normal com média }\mu\text{ e variância }\sigma^{2},\text{ então } \bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).çãééâãAqui:
    • \mu é a média da população;
    • \sigma^{2} é a variância da população;
    • \frac{\sigma^{2}}{n} é a variância da média amostral;
    • o desvio padrão da média amostral é \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Por que isso vale (explicação passo a passo, sem pular etapas):
    1. Se X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. normais com média \mu e variância \sigma^{2}, então a soma S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i também é normal (soma de normais é normal) com \operatorname{E}[S_n]=n\mu,\qquad \operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^{2}.
    2. A média amostral é \bar{X}=S_n/n. Escalar uma variável normal por uma constante mantém a normalidade, e transforma média e variância assim: \operatorname{E}[\bar{X}]=\frac{1}{n}\operatorname{E}[S_n]=\frac{n\mu}{n}=\mu,
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}\operatorname{Var}(S_n)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}.
  1. Portanto \bar{X} é normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n.

Passo 3

Aplicando aos números do enunciado:
  • A variância populacional é \sigma^{2}=4. Logo o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{4}=2.
  • A variância da média amostral é \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{4}{100}=\;0,04.
  • O desvio padrão da média amostral é \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{100}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 4

Sobre normalidade: como a população é exatamente normal, a distribuição da média amostral \bar{X} é exatamente normal para qualquer n. Não precisamos invocar o Teorema Central do Limite porque a hipótese “população normal” já garante normalidade exata da média.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • Procuramos "normal com \mu=10 e desvio padrão \sigma_{\bar{X}}=1/5".
  • A alternativa (b) diz exatamente: normal com \mu=10 e \sigma=1/5. Isso coincide com o que calculamos.
  • As outras alternativas estão erradas porque ou afirmam “não normal” (incorreto aqui), ou trocam média e variância por valores diferentes ( \mu=100 ou variâncias diferentes).

Resposta

b) normal com \mu=10 e \sigma=\tfrac{1}{5}

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